Calcul infinitésimal Exemples

$3 \frac{d y}{d x} - 3 e^{x} = 9 x^{2}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Ajoutez $3 e^{x}$ aux deux côtés de l’équation.

$3 \frac{d y}{d x} = 9 x^{2} + 3 e^{x}$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $3 \frac{d y}{d x} = 9 x^{2} + 3 e^{x}$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $3 \frac{d y}{d x} = 9 x^{2} + 3 e^{x}$ par $3$ .

$\frac{3 \frac{d y}{d x}}{3} = \frac{9 x^{2}}{3} + \frac{3 e^{x}}{3}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \frac{d y}{d x}}{3} = \frac{9 x^{2}}{3} + \frac{3 e^{x}}{3}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 x^{2}}{3} + \frac{3 e^{x}}{3}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Annulez le facteur commun à $9$ et $3$ .

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Étape 1.1.2.3.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $9 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (3 x^{2})}{3} + \frac{3 e^{x}}{3}$

Étape 1.1.2.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.3.1.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (3 x^{2})}{3 (1)} + \frac{3 e^{x}}{3}$

Étape 1.1.2.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (3 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{3 e^{x}}{3}$

Étape 1.1.2.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{1} + \frac{3 e^{x}}{3}$

Étape 1.1.2.3.1.1.2.4

Divisez $3 x^{2}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + \frac{3 e^{x}}{3}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.1.2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + \frac{3 e^{x}}{3}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2

Divisez $e^{x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + e^{x}$

Étape 1.2

Réécrivez l’équation.

$d y = (3 x^{2} + e^{x}) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 3 x^{2} + e^{x} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 3 x^{2} + e^{x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int 3 x^{2} d x + \int e^{x} d x$

Étape 2.3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 3 \int x^{2} d x + \int e^{x} d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int e^{x} d x$

Étape 2.3.4

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + e^{x} + C_{3}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + e^{x} + C_{3}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

$y + C_{1} = x^{3} + e^{x} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = x^{3} + e^{x} + K$