Calcul infinitésimal Exemples

$x d y = y (x e^{2 x} + 1) d x$

Étape 1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$\frac{1}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

Étape 2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

Étape 2.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x y} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y x} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y x} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

Étape 2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x} (x e^{2 x} + 1) d x$

Étape 2.3

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $x e^{2 x} + 1$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{x e^{2 x} + 1}{x} d x$

Étape 3

Intégrez les deux côtés.

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Étape 3.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x e^{2 x} + 1}{x} d x$

Étape 3.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x e^{2 x} + 1}{x} d x$

Étape 3.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x e^{2 x}}{x} + \frac{1}{x} d x$

Étape 3.3.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x e^{2 x}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.3.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x e^{2 x}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.3.3.2

Divisez $e^{2 x}$ par $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int e^{2 x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.3.4

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.3.4.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.3.4.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 3.3.4.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3.4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 3.3.4.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 3.3.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.3.5

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.3.6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.3.7

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.3.8

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + \ln (| x |) + C_{3}$

Étape 3.3.9

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} + \ln (| x |) + C_{4}$

Étape 3.3.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} + \ln (| x |) + C_{4}$

Étape 3.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} e^{2 x} + \ln (| x |) + C$

Étape 4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$\ln (| y |) = \frac{e^{2 x}}{2} + \ln (| x |) + C$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Étape 4.3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Étape 4.4

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$

Étape 4.5

Réécrivez $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = \frac{e^{2 x}}{2} + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C} = \frac{| y |}{| x |}$

Étape 4.6

Résolvez $y$ .

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Étape 4.6.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| y |}{| x |} = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$ .

$\frac{| y |}{| x |} = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$

Étape 4.6.2

Multipliez les deux côtés par $| x |$ .

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C} | x |$

Étape 4.6.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.6.3.1

Annulez le facteur commun de $| x |$ .

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Étape 4.6.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C} | x |$

Étape 4.6.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$| y | = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C} | x |$

Étape 4.6.4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.6.4.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C} | x |$ .

$| y | = | x | e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$

Étape 4.6.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x | e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$

Étape 5

Regroupez les termes constants.

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Étape 5.1

Réécrivez $e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$ comme $e^{\frac{e^{2 x}}{2}} e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{\frac{e^{2 x}}{2}} e^{C})$

Étape 5.2

Remettez dans l’ordre $e^{\frac{e^{2 x}}{2}}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{C} e^{\frac{e^{2 x}}{2}})$

Étape 5.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C | x | e^{\frac{e^{2 x}}{2}}$