Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = y$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Soustrayez $2 x y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} = y - 2 x y$

Étape 1.2

Factorisez $y$ à partir de $y - 2 x y$ .

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Étape 1.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y^{1} - 2 x y$

Étape 1.2.2

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 1 - 2 x y$

Étape 1.2.3

Factorisez $y$ à partir de $- 2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 1 + y (- 2 x)$

Étape 1.2.4

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 1 + y (- 2 x)$ .

$\frac{d y}{d x} = y (1 - 2 x)$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (1 - 2 x))$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (1 - 2 x))$

Étape 1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 1 - 2 x$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = (1 - 2 x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 1 - 2 x d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 - 2 x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int - 2 x d x$

Étape 2.3.2

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int - 2 x d x$

Étape 2.3.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - 2 \int x d x$

Étape 2.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = x - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

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Étape 2.3.5.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + \frac{- 2}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 2.3.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.5.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + \frac{- 1}{1} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x - x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{2} + x + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = - x^{2} + x + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- x^{2} + x + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| y |) = - x^{2} + x + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- x^{2} + x + C} = | y |$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| y | = e^{- x^{2} + x + C}$ .

$| y | = e^{- x^{2} + x + C}$

Étape 3.3.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- x^{2} + x + C}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{- x^{2} + x + C}$ comme $e^{- x^{2} + x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- x^{2} + x} e^{C}$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{- x^{2} + x}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- x^{2} + x}$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{- x^{2} + x}$