Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = x \sin (x)$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = x \sin (x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int x \sin (x) d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int x \sin (x) d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \sin (x)$ .

$y + C_{1} = x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x$

Étape 2.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y + C_{1} = x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $\int \cos (x) d x$ par $1$ .

$y + C_{1} = x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x$

Étape 2.3.4

L’intégrale de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (x)$ .

$y + C_{1} = x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2}$

Étape 2.3.5

Réécrivez $x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2}$ comme $- x \cos (x) + \sin (x) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - x \cos (x) + \sin (x) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = - x \cos (x) + \sin (x) + K$