Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = x^{2} e^{4 x}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = x^{2} e^{4 x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int x^{2} e^{4 x} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int x^{2} e^{4 x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{2}$ et $d v = e^{4 x}$ .

$y + C_{1} = x^{2} (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (2 x) d x$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $e^{4 x}$ .

$y + C_{1} = x^{2} \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (2 x) d x$

Étape 2.3.2.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (2 x) d x$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{4} \cdot 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4} \cdot 2$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 2 \int e^{4 x} (x) d x)$

Étape 2.3.4

Simplifiez

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Étape 2.3.4.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $2$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - (\frac{2}{4} \int e^{4 x} (x) d x)$

Étape 2.3.4.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 2.3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - (\frac{2 (1)}{4} \int e^{4 x} (x) d x)$

Étape 2.3.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int e^{4 x} (x) d x)$

Étape 2.3.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int e^{4 x} (x) d x)$

Étape 2.3.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{2} \int e^{4 x} (x) d x)$

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} \int e^{4 x} (x) d x$

Étape 2.3.5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{4 x}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (x (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Étape 2.3.6

Simplifiez

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Étape 2.3.6.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $e^{4 x}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (x \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Étape 2.3.6.2

Associez $x$ et $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Étape 2.3.6.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $e^{4 x}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{e^{4 x}}{4} d x)$

Étape 2.3.7

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x} d x))$

Étape 2.3.8

Laissez $u = 4 x$ . Alors $d u = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.8.1

Laissez $u = 4 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.8.1.1

Différenciez $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 2.3.8.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Étape 2.3.8.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$

Étape 2.3.8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{4} d u)$

Étape 2.3.9

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

Étape 2.3.10

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

Étape 2.3.11

Simplifiez

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Étape 2.3.11.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

Étape 2.3.11.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

Étape 2.3.12

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C_{2}))$

Étape 2.3.13

Simplifiez

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Étape 2.3.13.1

Réécrivez $\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C_{2}))$ comme $\frac{1}{4} x^{2} e^{4 x} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{2} e^{4 x} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C_{2}$

Étape 2.3.13.2

Simplifiez

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Étape 2.3.13.2.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2}}{4} e^{4 x} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C_{2}$

Étape 2.3.13.2.2

Associez $\frac{x^{2}}{4}$ et $e^{4 x}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C_{2}$

Étape 2.3.13.2.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $x$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x}{4} e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C_{2}$

Étape 2.3.13.2.4

Associez $\frac{x}{4}$ et $e^{4 x}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u}) + C_{2}$

Étape 2.3.13.2.5

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{16}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16}) + C_{2}$

Étape 2.3.13.2.6

Pour écrire $- \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16}) \cdot \frac{4}{4} + C_{2}$

Étape 2.3.13.2.7

Associez $- \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})$ et $\frac{4}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} + \frac{- \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16}) \cdot 4}{4} + C_{2}$

Étape 2.3.13.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16}) \cdot 4}{4} + C_{2}$

Étape 2.3.13.2.9

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - 4 (\frac{1}{2}) (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C_{2}$

Étape 2.3.13.2.10

Associez $- 4$ et $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + \frac{- 4}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C_{2}$

Étape 2.3.13.2.11

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 2.3.13.2.11.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + \frac{2 \cdot - 2}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C_{2}$

Étape 2.3.13.2.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.13.2.11.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C_{2}$

Étape 2.3.13.2.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C_{2}$

Étape 2.3.13.2.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + \frac{- 2}{1} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C_{2}$

Étape 2.3.13.2.11.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C_{2}$

Étape 2.3.14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x}}{16})}{4} + C_{2}$

Étape 2.3.15

Simplifiez

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Étape 2.3.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - 2 \frac{x e^{4 x}}{4} - 2 (- \frac{e^{4 x}}{16})}{4} + C_{2}$

Étape 2.3.15.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.15.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + 2 (- 1) \frac{x e^{4 x}}{4} - 2 (- \frac{e^{4 x}}{16})}{4} + C_{2}$

Étape 2.3.15.2.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{4 x}}{2 \cdot 2} - 2 (- \frac{e^{4 x}}{16})}{4} + C_{2}$

Étape 2.3.15.2.3

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{4 x}}{2 \cdot 2} - 2 (- \frac{e^{4 x}}{16})}{4} + C_{2}$

Étape 2.3.15.2.4

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{4 x}}{16})}{4} + C_{2}$

Étape 2.3.15.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.15.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{e^{4 x}}{16}$ dans le numérateur.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} - 2 \frac{- e^{4 x}}{16}}{4} + C_{2}$

Étape 2.3.15.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 (- 1) \frac{- e^{4 x}}{16}}{4} + C_{2}$

Étape 2.3.15.3.3

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{4 x}}{2 \cdot 8}}{4} + C_{2}$

Étape 2.3.15.3.4

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{4 x}}{2 \cdot 8}}{4} + C_{2}$

Étape 2.3.15.3.5

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} - \frac{- e^{4 x}}{8}}{4} + C_{2}$

Étape 2.3.15.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.15.4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} - - \frac{e^{4 x}}{8}}{4} + C_{2}$

Étape 2.3.15.4.2

Multipliez $- - \frac{e^{4 x}}{8}$ .

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Étape 2.3.15.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + 1 \frac{e^{4 x}}{8}}{4} + C_{2}$

Étape 2.3.15.4.2.2

Multipliez $\frac{e^{4 x}}{8}$ par $1$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + \frac{e^{4 x}}{8}}{4} + C_{2}$

Étape 2.3.16

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (x^{2} e^{4 x} - \frac{1}{2} x e^{4 x} + \frac{1}{8} e^{4 x}) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{1}{4} (x^{2} e^{4 x} - \frac{1}{2} x e^{4 x} + \frac{1}{8} e^{4 x}) + K$