Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 x^{3}}{3 y^{2}}$ , $y (0) = 2$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{8 x^{3}}{3 y^{2}}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $3 y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{8 x^{3}}{y^{2} \cdot 3}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{8 x^{3}}{y^{2} \cdot 3}$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{8 x^{3}}{3}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$y^{2} d y = \frac{8 x^{3}}{3} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y^{2} d y = \int \frac{8 x^{3}}{3} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{8 x^{3}}{3} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $\frac{8}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{8}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{3} \int x^{3} d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $\frac{8}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ comme $\frac{8}{3} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.3.2.1

Multipliez $\frac{8}{3}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{3 \cdot 4} x^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{12} x^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.3

Annulez le facteur commun à $8$ et $12$ .

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Étape 2.3.3.2.3.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{4 (2)}{12} x^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.2.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 3} x^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 3} x^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2}{3} x^{4} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{2}{3} x^{4} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{2}{3} x^{4} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{2}{3} x^{4} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{2}{3} x^{4} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = 3 (\frac{2}{3} x^{4} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $3 (\frac{2}{3} x^{4} + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{4}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{2 x^{4}}{3} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{3} = 3 \frac{2 x^{4}}{3} + 3 K$

Étape 3.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y^{3} = 3 \frac{2 x^{4}}{3} + 3 K$

Étape 3.2.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = 2 x^{4} + 3 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{2 x^{4} + 3 K}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt[3]{2 x^{4} + K}$

Étape 5

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $2$ dans $y = \sqrt[3]{2 x^{4} + K}$ .

$2 = \sqrt[3]{2 \cdot 0^{4} + K}$

Étape 6

Résolvez $K$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt[3]{2 \cdot 0^{4} + K} = 2$ .

$\sqrt[3]{2 \cdot 0^{4} + K} = 2$

Étape 6.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{2 \cdot 0^{4} + K}}^{3} = 2^{3}$

Étape 6.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{2 \cdot 0^{4} + K}$ comme ${(2 \cdot 0^{4} + K)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(2 \cdot 0^{4} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{3}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez ${({(2 \cdot 0^{4} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(2 \cdot 0^{4} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 6.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 \cdot 0^{4} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Étape 6.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(2 \cdot 0^{4} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Étape 6.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2 \cdot 0^{4} + K)}^{1} = 2^{3}$

Étape 6.3.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.2.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

${(2 \cdot 0 + K)}^{1} = 2^{3}$

Étape 6.3.2.1.2.2

Multipliez $2$ par $0$ .

${(0 + K)}^{1} = 2^{3}$

Étape 6.3.2.1.3

Simplifiez en ajoutant des zéros.

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Étape 6.3.2.1.3.1

Additionnez $0$ et $K$ .

$K^{1} = 2^{3}$

Étape 6.3.2.1.3.2

Simplifiez

$K = 2^{3}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$K = 8$

Étape 7

Remplacez $K$ par $8$ dans $y = \sqrt[3]{2 x^{4} + K}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Remplacez $K$ par $8$ .

$y = \sqrt[3]{2 x^{4} + 8}$

Étape 7.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{4} + 8$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{4}$ .

$y = \sqrt[3]{2 (x^{4}) + 8}$

Étape 7.2.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$y = \sqrt[3]{2 x^{4} + 2 \cdot 4}$

Étape 7.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{4} + 2 \cdot 4$ .

$y = \sqrt[3]{2 (x^{4} + 4)}$