Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \tan (x) \cos^{2} (y)$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\tan (x) \cos^{2} (y))$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $\cos^{2} (y)$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $\cos^{2} (y)$ à partir de $\tan (x) \cos^{2} (y)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) \tan (x))$

Étape 1.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) \tan (x))$

Étape 1.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \tan (x)$

Étape 1.2.2

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 1.2.3

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \tan (x)$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \tan (x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \int \tan (x) d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ à $\sec^{2} (y)$ .

$\int \sec^{2} (y) d y = \int \tan (x) d x$

Étape 2.2.2

Comme la dérivée de $\tan (y)$ est $\sec^{2} (y)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (y)$ est $\tan (y)$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int \tan (x) d x$

Étape 2.3

L’intégrale de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \sec (x) |)$ .

$\tan (y) + C_{1} = \ln (| \sec (x) |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\tan (y) = \ln (| \sec (x) |) + C$

Étape 3

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de la tangente.

$y = \arctan (\ln (| \sec (x) |) + C)$