Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 x^{2}}{9 y^{2}}$

Étape 1

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{8 x^{2}}{9 y^{2}}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $9 y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{8 x^{2}}{y^{2} \cdot 9}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{8 x^{2}}{y^{2} \cdot 9}$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{8 x^{2}}{9}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$y^{2} d y = \frac{8 x^{2}}{9} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y^{2} d y = \int \frac{8 x^{2}}{9} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{8 x^{2}}{9} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $\frac{8}{9}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{8}{9}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{9} \int x^{2} d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{9} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Réécrivez $\frac{8}{9} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ comme $\frac{8}{9} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.2.1

Multipliez $\frac{8}{9}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{9 \cdot 3} x^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2

Multipliez $9$ par $3$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{27} x^{3} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{8}{27} x^{3} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{8}{27} x^{3} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{8}{27} x^{3} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{8}{27} x^{3} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = 3 (\frac{8}{27} x^{3} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Simplifiez $3 (\frac{8}{27} x^{3} + K)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1

Associez $\frac{8}{27}$ et $x^{3}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{8 x^{3}}{27} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{3} = 3 \frac{8 x^{3}}{27} + 3 K$

Étape 3.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$y^{3} = 3 \frac{8 x^{3}}{3 (9)} + 3 K$

Étape 3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$y^{3} = 3 \frac{8 x^{3}}{3 \cdot 9} + 3 K$

Étape 3.2.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = \frac{8 x^{3}}{9} + 3 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{\frac{8 x^{3}}{9} + 3 K}$

Étape 3.4

Simplifiez $\sqrt[3]{\frac{8 x^{3}}{9} + 3 K}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Pour écrire $3 K$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{8 x^{3}}{9} + 3 K \cdot \frac{9}{9}}$

Étape 3.4.2

Associez $3 K$ et $\frac{9}{9}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{8 x^{3}}{9} + \frac{3 K \cdot 9}{9}}$

Étape 3.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \sqrt[3]{\frac{8 x^{3} + 3 K \cdot 9}{9}}$

Étape 3.4.4

Multipliez $9$ par $3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{8 x^{3} + 27 K}{9}}$

Étape 3.4.5

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{8 x^{3} + 27 K}{9}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 27 K}}{\sqrt[3]{9}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 27 K}}{\sqrt[3]{9}}$

Étape 3.4.6

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 27 K}}{\sqrt[3]{9}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 27 K}}{\sqrt[3]{9}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$

Étape 3.4.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.7.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 27 K}}{\sqrt[3]{9}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 27 K} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{9}}^{2}}$

Étape 3.4.7.2

Élevez $\sqrt[3]{9}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 27 K} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{1} {\sqrt[3]{9}}^{2}}$

Étape 3.4.7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 27 K} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{1 + 2}}$

Étape 3.4.7.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 27 K} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{3}}$

Étape 3.4.7.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{9}}^{3}$ comme $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.7.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{9}$ comme $9^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 27 K} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{{(9^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 3.4.7.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 27 K} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 3.4.7.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 27 K} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.4.7.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.7.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 27 K} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.4.7.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 27 K} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{1}}$

Étape 3.4.7.5.5

Évaluez l’exposant.

$y = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 27 K} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{9}$

Étape 3.4.8

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.8.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{9}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{9^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 27 K} \sqrt[3]{9^{2}}}{9}$

Étape 3.4.8.2

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 27 K} \sqrt[3]{81}}{9}$

Étape 3.4.8.3

Réécrivez $81$ comme $3^{3} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.8.3.1

Factorisez $27$ à partir de $81$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 27 K} \sqrt[3]{27 (3)}}{9}$

Étape 3.4.8.3.2

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 27 K} \sqrt[3]{3^{3} \cdot 3}}{9}$

Étape 3.4.8.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 27 K} \cdot 3 \sqrt[3]{3}}{9}$

Étape 3.4.8.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \frac{3 \sqrt[3]{(8 x^{3} + 27 K) \cdot 3}}{9}$

Étape 3.4.9

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.9.1

Annulez le facteur commun à $3$ et $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.9.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \sqrt[3]{(8 x^{3} + 27 K) \cdot 3}$ .

$y = \frac{3 \sqrt[3]{(8 x^{3} + 27 K) \cdot 3}}{9}$

Étape 3.4.9.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.9.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$y = \frac{3 \sqrt[3]{(8 x^{3} + 27 K) \cdot 3}}{3 \cdot 3}$

Étape 3.4.9.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{3 \sqrt[3]{(8 x^{3} + 27 K) \cdot 3}}{3 \cdot 3}$

Étape 3.4.9.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\sqrt[3]{(8 x^{3} + 27 K) \cdot 3}}{3}$

Étape 3.4.9.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\sqrt[3]{(8 x^{3} + 27 K) \cdot 3}}{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (8 x^{3} + 27 K)}}{3}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (8 x^{3} + K)}}{3}$