Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3} y = \frac{1}{3} (1 + 3 x) y^{4}$

Étape 1

Pour résoudre l’équation différentielle, laissez $v = y^{1 - n}$ où $n$ est l’exposant de $y^{4}$ .

$v = y^{- 3}$

Étape 2

Résolvez l’équation pour $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{3}}$

Étape 3

Prenez la dérivée de $y$ par rapport à $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{3}}$

Étape 4

Prenez la dérivée de $v^{- \frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ .

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Étape 4.1

Prenez la dérivée de $v^{- \frac{1}{3}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{3}}]$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1$ et $g (x) = v^{\frac{1}{3}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Étape 4.4.2

Multipliez les exposants dans ${(v^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Étape 4.4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Étape 4.4.2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $2$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.4.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.4.4.1

Multipliez $v^{\frac{1}{3}}$ par $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.4.4.2

Soustrayez $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.4.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = v$ .

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Étape 4.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.7

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.9.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.9.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.11

Associez $\frac{1}{3}$ et $v^{- \frac{2}{3}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.12

Placez $v^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.13

Réécrivez $\frac{d}{d x} [v]$ comme $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} v'}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.14

Associez $\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ et $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.15

Réécrivez $\frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$ comme un produit.

$y' = - (\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{v^{\frac{2}{3}}})$

Étape 4.16

Multipliez $\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ par $\frac{1}{v^{\frac{2}{3}}}$ .

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.17

Multipliez $v^{\frac{2}{3}}$ par $v^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.17.1

Déplacez $v^{\frac{2}{3}}$ .

$y' = - \frac{v'}{3 (v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}})}$

Étape 4.17.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Étape 4.17.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Étape 4.17.4

Additionnez $2$ et $2$ .

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ et $y$ par $v^{- \frac{1}{3}}$ dans l’équation d’origine $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3} y = \frac{1}{3} (1 + 3 x) y^{4}$ .

$- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $M (x) \frac{d v}{d x} + P (x) v = Q (x)$ .

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Étape 6.1.1

Multiplier chaque terme dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ par $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 6.1.1.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ par $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 6.1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3 v^{\frac{4}{3}}$ .

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Étape 6.1.1.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ dans le numérateur.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 6.1.1.2.1.1.2

Factorisez $3 v^{\frac{4}{3}}$ à partir de $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} (- 1)) + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 6.1.1.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} \cdot - 1) + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 6.1.1.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 6.1.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 6.1.1.2.1.3

Multipliez $\frac{d v}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 6.1.1.2.1.4

Multipliez $v^{- \frac{1}{3}}$ par $v^{\frac{4}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.1.2.1.4.1

Déplacez $v^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{1}{3}}) (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 6.1.1.2.1.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 6.1.1.2.1.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{\frac{4 - 1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 6.1.1.2.1.4.4

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{\frac{3}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 6.1.1.2.1.4.5

Divisez $3$ par $3$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{1} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 6.1.1.2.1.5

Simplifiez $\frac{1}{3} v^{1} (- 1 \cdot (3))$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 6.1.1.2.1.6

Associez $\frac{1}{3}$ et $v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{3} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 6.1.1.2.1.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.1.1.2.1.7.1

Factorisez $3$ à partir de $- 1 \cdot (3)$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{3} (3 \cdot - 1) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 6.1.1.2.1.7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{3} (3 \cdot - 1) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 6.1.1.2.1.7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} + v \cdot - 1 = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 6.1.1.2.1.8

Déplacez $- 1$ à gauche de $v$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot v = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 6.1.1.2.1.9

Réécrivez $- 1 v$ comme $- v$ .

$\frac{d v}{d x} - v = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 6.1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d v}{d x} - v = (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} (3 x)) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 6.1.1.3.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (3 x)) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 6.1.1.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.1.1.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (3 (x))) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 6.1.1.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d v}{d x} - v = (\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (3 x)) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 6.1.1.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} - v = (\frac{1}{3} + x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Étape 6.1.1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1.1.3.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d v}{d x} - v = - 1 \cdot 3 (\frac{1}{3} + x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Étape 6.1.1.3.4.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - 3 (\frac{1}{3} + x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Étape 6.1.1.3.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 3 (\frac{1}{3}) - 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Étape 6.1.1.3.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.1.1.3.6.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (3 (- 1) \frac{1}{3} - 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Étape 6.1.1.3.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d v}{d x} - v = (3 \cdot - 1 \frac{1}{3} - 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Étape 6.1.1.3.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Étape 6.1.1.3.7

Multipliez les exposants dans ${(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ .

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Étape 6.1.1.3.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{- \frac{1}{3} \cdot 4} v^{\frac{4}{3}}$

Étape 6.1.1.3.7.2

Multipliez $- \frac{1}{3} \cdot 4$ .

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Étape 6.1.1.3.7.2.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{- 4 (\frac{1}{3})} v^{\frac{4}{3}}$

Étape 6.1.1.3.7.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{\frac{- 4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

Étape 6.1.1.3.7.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{- \frac{4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

Étape 6.1.1.3.8

Multipliez $v^{- \frac{4}{3}}$ par $v^{\frac{4}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.1.3.8.1

Déplacez $v^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{4}{3}})$

Étape 6.1.1.3.8.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{\frac{4}{3} - \frac{4}{3}}$

Étape 6.1.1.3.8.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{\frac{4 - 4}{3}}$

Étape 6.1.1.3.8.4

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{\frac{0}{3}}$

Étape 6.1.1.3.8.5

Divisez $0$ par $3$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{0}$

Étape 6.1.1.3.9

Simplifiez $(- 1 - 3 x) v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - 1 - 3 x$

Étape 6.1.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d v}{d x} - v = - 3 x - 1$

Étape 6.2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - 1$ .

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Étape 6.2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - 1 d x}$

Étape 6.2.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{- x + C}$

Étape 6.2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- x}$

Étape 6.3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{- x}$ .

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Étape 6.3.1

Multipliez chaque terme par $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} + e^{- x} (- v) = e^{- x} (- 3 x) + e^{- x} \cdot - 1$

Étape 6.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = e^{- x} (- 3 x) + e^{- x} \cdot - 1$

Étape 6.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - 3 e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 1$

Étape 6.3.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - 3 e^{- x} x - 1 \cdot e^{- x}$

Étape 6.3.3.3

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - 3 e^{- x} x - e^{- x}$

Étape 6.3.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - 3 e^{- x} x - e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - v e^{- x} = - 3 x e^{- x} - e^{- x}$

Étape 6.4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} v] = - 3 x e^{- x} - e^{- x}$

Étape 6.5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} v] d x = \int - 3 x e^{- x} - e^{- x} d x$

Étape 6.6

Intégrez le côté gauche.

$e^{- x} v = \int - 3 x e^{- x} - e^{- x} d x$

Étape 6.7

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.7.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$e^{- x} v = \int - 3 x e^{- x} d x + \int - e^{- x} d x$

Étape 6.7.2

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- x} v = - 3 \int x e^{- x} d x + \int - e^{- x} d x$

Étape 6.7.3

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Étape 6.7.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Étape 6.7.5

Simplifiez

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Étape 6.7.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Étape 6.7.5.2

Multipliez $\int e^{- x} d x$ par $1$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Étape 6.7.6

Laissez $u_{1} = - x$ . Alors $d u_{1} = - d x$ , donc $- d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 6.7.6.1

Laissez $u_{1} = - x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 6.7.6.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 6.7.6.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.7.6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 6.7.6.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 6.7.6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - e^{- x} d x$

Étape 6.7.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - e^{- x} d x$

Étape 6.7.8

L’intégrale de $e^{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + \int - e^{- x} d x$

Étape 6.7.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - \int e^{- x} d x$

Étape 6.7.10

Laissez $u_{2} = - x$ . Alors $d u_{2} = - d x$ , donc $- d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 6.7.10.1

Laissez $u_{2} = - x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 6.7.10.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 6.7.10.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.7.10.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 6.7.10.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 6.7.10.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 6.7.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - - \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 6.7.12

Simplifiez

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Étape 6.7.12.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 6.7.12.2

Multipliez $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ par $1$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 6.7.13

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + e^{u_{2}} + C$

Étape 6.7.14

Simplifiez

$e^{- x} v = - 3 (- x e^{- x} - e^{u_{1}}) + e^{u_{2}} + C$

Étape 6.7.15

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 6.7.15.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- x$ .

$e^{- x} v = - 3 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{u_{2}} + C$

Étape 6.7.15.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- x$ .

$e^{- x} v = - 3 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{- x} + C$

Étape 6.8

Divisez chaque terme dans $e^{- x} v = - 3 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{- x} + C$ par $e^{- x}$ et simplifiez.

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Étape 6.8.1

Divisez chaque terme dans $e^{- x} v = - 3 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{- x} + C$ par $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{- 3 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 6.8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.8.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- x}$ .

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Étape 6.8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{- 3 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 6.8.2.1.2

Divisez $v$ par $1$ .

$v = \frac{- 3 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 6.8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.8.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$v = \frac{- 3 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Étape 6.8.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.8.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$v = \frac{- 3 (- x e^{- x}) - 3 (- e^{- x}) + e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Étape 6.8.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$v = \frac{3 (x e^{- x}) - 3 (- e^{- x}) + e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Étape 6.8.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$v = \frac{3 x e^{- x} + 3 e^{- x} + e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Étape 6.8.3.3

Additionnez $3 e^{- x}$ et $e^{- x}$ .

$v = \frac{3 x e^{- x} + 4 e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Étape 7

Remplacez $v$ par $y^{- 3}$ .

$y^{- 3} = \frac{3 x e^{- x} + 4 e^{- x} + C}{e^{- x}}$