Calcul infinitésimal Exemples

$(x + 3 x^{3} \sin (y)) d x + (x^{4} \cos (y)) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = x + 3 x^{3} \sin (y)$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + 3 x^{3} \sin (y)]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3 x^{3} \sin (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 x^{3} \sin (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 x^{3} \sin (y)]$

Étape 1.2.2

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [3 x^{3} \sin (y)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [3 x^{3} \sin (y)]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $3 x^{3}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 x^{3} \sin (y)$ par rapport à $y$ est $3 x^{3} \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 x^{3} \frac{d}{d y} [\sin (y)]$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\sin (y)$ par rapport à $y$ est $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 x^{3} \cos (y)$

Étape 1.4

Additionnez $0$ et $3 x^{3} \cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{3} \cos (y)$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x^{4} \cos (y)$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{4} \cos (y)]$

Étape 2.2

Comme $\cos (y)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x^{4} \cos (y)$ par rapport à $x$ est $\cos (y) \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) (4 x^{3})$

Étape 2.4

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.4.1

Déplacez $4$ à gauche de $\cos (y)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 \cdot \cos (y) x^{3}$

Étape 2.4.2

Réorganisez les facteurs de $4 \cos (y) x^{3}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{3} \cos (y)$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $3 x^{3} \cos (y)$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $4 x^{3} \cos (y)$ .

$3 x^{3} \cos (y) = 4 x^{3} \cos (y)$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$3 x^{3} \cos (y) = 4 x^{3} \cos (y)$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $3 x^{3} \cos (y)$ .

$\frac{3 x^{3} \cos (y) - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $4 x^{3} \cos (y)$ .

$\frac{3 x^{3} \cos (y) - (4 x^{3} \cos (y))}{N}$

Étape 4.3

Remplacez $N$ par $x^{4} \cos (y)$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $N$ par $x^{4} \cos (y)$ .

$\frac{3 x^{3} \cos (y) - (4 x^{3} \cos (y))}{x^{4} \cos (y)}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $x^{3} \cos (y)$ à partir de $3 x^{3} \cos (y) - 1 \cdot 4 x^{3} \cos (y)$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Factorisez $x^{3} \cos (y)$ à partir de $3 x^{3} \cos (y)$ .

$\frac{x^{3} \cos (y) (3) - 1 \cdot 4 x^{3} \cos (y)}{x^{4} \cos (y)}$

Étape 4.3.2.1.2

Factorisez $x^{3} \cos (y)$ à partir de $- 1 \cdot 4 x^{3} \cos (y)$ .

$\frac{x^{3} \cos (y) (3) + x^{3} \cos (y) (- 1 \cdot 4)}{x^{4} \cos (y)}$

Étape 4.3.2.1.3

Factorisez $x^{3} \cos (y)$ à partir de $x^{3} \cos (y) (3) + x^{3} \cos (y) (- 1 \cdot 4)$ .

$\frac{x^{3} \cos (y) (3 - 1 \cdot 4)}{x^{4} \cos (y)}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{x^{3} \cos (y) (3 - 4)}{x^{4} \cos (y)}$

Étape 4.3.2.3

Soustrayez $4$ de $3$ .

$\frac{x^{3} \cos (y) \cdot - 1}{x^{4} \cos (y)}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x^{4}$ .

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Étape 4.3.3.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} \cos (y) \cdot - 1$ .

$\frac{x^{3} (\cos (y) \cdot - 1)}{x^{4} \cos (y)}$

Étape 4.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.3.2.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{4} \cos (y)$ .

$\frac{x^{3} (\cos (y) \cdot - 1)}{x^{3} (x \cos (y))}$

Étape 4.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3} (\cos (y) \cdot - 1)}{x^{3} (x \cos (y))}$

Étape 4.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (y) \cdot - 1}{x \cos (y)}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun de $\cos (y)$ .

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Étape 4.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (y) \cdot - 1}{x \cos (y)}$

Étape 4.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{x}$

Étape 4.3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{x}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{1}{x} d x}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 5.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Étape 5.3

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x |)} + C$

Étape 5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1

Simplifiez $- \ln (| x |)$ en déplaçant $- 1$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 1})} + C$

Étape 5.4.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 1} + C$

Étape 5.4.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x |} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(x + 3 x^{3} \sin (y)) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{x}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $x + 3 x^{3} \sin (y)$ par $\frac{1}{x}$ .

$(x + 3 x^{3} \sin (y)) \frac{1}{x} d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x \frac{1}{x} + 3 x^{3} \sin (y) \frac{1}{x}) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.3.1

Annulez le facteur commun.

$(x \frac{1}{x} + 3 x^{3} \sin (y) \frac{1}{x}) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Étape 6.3.2

Réécrivez l’expression.

$(1 + 3 x^{3} \sin (y) \frac{1}{x}) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{3} \sin (y)$ .

$(1 + x (3 x^{2} \sin (y)) \frac{1}{x}) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Étape 6.4.2

Annulez le facteur commun.

$(1 + x (3 x^{2} \sin (y)) \frac{1}{x}) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Étape 6.4.3

Réécrivez l’expression.

$(1 + 3 x^{2} \sin (y)) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Étape 6.5

Multipliez $x^{4} \cos (y)$ par $\frac{1}{x}$ .

$(1 + 3 x^{2} \sin (y)) d x + x^{4} \cos (y) \frac{1}{x} d y = 0$

Étape 6.6

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4} \cos (y)$ .

$(1 + 3 x^{2} \sin (y)) d x + x (x^{3} \cos (y)) \frac{1}{x} d y = 0$

Étape 6.6.2

Annulez le facteur commun.

$(1 + 3 x^{2} \sin (y)) d x + x (x^{3} \cos (y)) \frac{1}{x} d y = 0$

Étape 6.6.3

Réécrivez l’expression.

$(1 + 3 x^{2} \sin (y)) d x + x^{3} \cos (y) d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{3} \cos (y) d y$

Étape 8

Intégrez $N (x, y) = x^{3} \cos (y)$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Comme $x^{3}$ est constant par rapport à $y$ , placez $x^{3}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = x^{3} \int \cos (y) d y$

Étape 8.2

L’intégrale de $\cos (y)$ par rapport à $y$ est $\sin (y)$ .

$f (x, y) = x^{3} (\sin (y) + C)$

Étape 8.3

Simplifiez

$f (x, y) = x^{3} \sin (y) + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{3} \sin (y) + g (x)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} \sin (y) + g (x)] = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} \sin (y) + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3} \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{3} \sin (y)]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $\sin (y)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x^{3} \sin (y)$ par rapport à $x$ est $\sin (y) \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\sin (y) \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Étape 11.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\sin (y) (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Étape 11.3.3

Déplacez $3$ à gauche de $\sin (y)$ .

$3 \sin (y) x^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$3 \sin (y) x^{2} + \frac{d g}{d x} = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Étape 11.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} \sin (y) = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1.1

Soustrayez $3 x^{2} \sin (y)$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = 1 + 3 x^{2} \sin (y) - 3 x^{2} \sin (y)$

Étape 12.1.2

Associez les termes opposés dans $1 + 3 x^{2} \sin (y) - 3 x^{2} \sin (y)$ .

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Étape 12.1.2.1

Soustrayez $3 x^{2} \sin (y)$ de $3 x^{2} \sin (y)$ .

$\frac{d g}{d x} = 1 + 0$

Étape 12.1.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 1$

Étape 13

Déterminez la primitive de $1$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int d x$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int d x$

Étape 13.3

Appliquez la règle de la constante.

$g (x) = x + C$

Étape 14

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = x^{3} \sin (y) + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{3} \sin (y) + x + C$