Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{7}{{(6 + x)}^{2}}$ , $y (0) = 6$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = \frac{7}{{(6 + x)}^{2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{7}{{(6 + x)}^{2}} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{7}{{(6 + x)}^{2}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , placez $7$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 7 \int \frac{1}{{(6 + x)}^{2}} d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u = 6 + x$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u = 6 + x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $6 + x$ .

$\frac{d}{d x} [6 + x]$

Étape 2.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2.1.3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 2.3.2.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = 7 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 2.3.3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.3.1

Retirez $u^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$y + C_{1} = 7 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Étape 2.3.3.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 7 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Étape 2.3.3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y + C_{1} = 7 \int u^{- 2} d u$

Étape 2.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 2}$ par rapport à $u$ est $- u^{- 1}$ .

$y + C_{1} = 7 (- u^{- 1} + C_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Réécrivez $7 (- u^{- 1} + C_{2})$ comme $7 (- \frac{1}{u}) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{u}) + C_{2}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

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Étape 2.3.5.2.1

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$y + C_{1} = - 7 \frac{1}{u} + C_{2}$

Étape 2.3.5.2.2

Associez $- 7$ et $\frac{1}{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 7}{u} + C_{2}$

Étape 2.3.5.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + C_{1} = - \frac{7}{u} + C_{2}$

Étape 2.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 + x$ .

$y + C_{1} = - \frac{7}{6 + x} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = - \frac{7}{6 + x} + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $6$ dans $y = - \frac{7}{6 + x} + K$ .

$6 = - \frac{7}{6 + 0} + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{7}{6 + 0} + K = 6$ .

$- \frac{7}{6 + 0} + K = 6$

Étape 4.2

Additionnez $6$ et $0$ .

$- \frac{7}{6} + K = 6$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Ajoutez $\frac{7}{6}$ aux deux côtés de l’équation.

$K = 6 + \frac{7}{6}$

Étape 4.3.2

Pour écrire $6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$K = 6 \cdot \frac{6}{6} + \frac{7}{6}$

Étape 4.3.3

Associez $6$ et $\frac{6}{6}$ .

$K = \frac{6 \cdot 6}{6} + \frac{7}{6}$

Étape 4.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$K = \frac{6 \cdot 6 + 7}{6}$

Étape 4.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.5.1

Multipliez $6$ par $6$ .

$K = \frac{36 + 7}{6}$

Étape 4.3.5.2

Additionnez $36$ et $7$ .

$K = \frac{43}{6}$

Étape 5

Remplacez $K$ par $\frac{43}{6}$ dans $y = - \frac{7}{6 + x} + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $\frac{43}{6}$ .

$y = - \frac{7}{6 + x} + \frac{43}{6}$

Étape 5.2

Pour écrire $- \frac{7}{6 + x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$y = - \frac{7}{6 + x} \cdot \frac{6}{6} + \frac{43}{6}$

Étape 5.3

Pour écrire $\frac{43}{6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6 + x}{6 + x}$ .

$y = - \frac{7}{6 + x} \cdot \frac{6}{6} + \frac{43}{6} \cdot \frac{6 + x}{6 + x}$

Étape 5.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(6 + x) \cdot 6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.4.1

Multipliez $\frac{7}{6 + x}$ par $\frac{6}{6}$ .

$y = - \frac{7 \cdot 6}{(6 + x) \cdot 6} + \frac{43}{6} \cdot \frac{6 + x}{6 + x}$

Étape 5.4.2

Multipliez $\frac{43}{6}$ par $\frac{6 + x}{6 + x}$ .

$y = - \frac{7 \cdot 6}{(6 + x) \cdot 6} + \frac{43 (6 + x)}{6 (6 + x)}$

Étape 5.4.3

Réorganisez les facteurs de $(6 + x) \cdot 6$ .

$y = - \frac{7 \cdot 6}{6 (6 + x)} + \frac{43 (6 + x)}{6 (6 + x)}$

Étape 5.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- 7 \cdot 6 + 43 (6 + x)}{6 (6 + x)}$

Étape 5.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.6.1

Multipliez $- 7$ par $6$ .

$y = \frac{- 42 + 43 (6 + x)}{6 (6 + x)}$

Étape 5.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 42 + 43 \cdot 6 + 43 x}{6 (6 + x)}$

Étape 5.6.3

Multipliez $43$ par $6$ .

$y = \frac{- 42 + 258 + 43 x}{6 (6 + x)}$

Étape 5.6.4

Additionnez $- 42$ et $258$ .

$y = \frac{216 + 43 x}{6 (6 + x)}$