Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d x}{d t} = \frac{x \ln (x)}{t}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x \ln (x)}$ .

$\frac{1}{x \ln (x)} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x \ln (x)} \cdot \frac{x \ln (x)}{t}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $x \ln (x)$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x \ln (x)} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x \ln (x)} \cdot \frac{x \ln (x)}{t}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x \ln (x)} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{t}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{x \ln (x)} d x = \frac{1}{t} d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{x \ln (x)} d x = \int \frac{1}{t} d t$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = \ln (x)$ . Alors $d u = \frac{1}{x} d x$ , donc $x d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = \ln (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 2.2.1.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{t} d t$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\ln (x)$ .

$\ln (| \ln (x) |) + C_{1} = \int \frac{1}{t} d t$

Étape 2.3

L’intégrale de $\frac{1}{t}$ par rapport à $t$ est $\ln (| t |)$ .

$\ln (| \ln (x) |) + C_{1} = \ln (| t |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| \ln (x) |) = \ln (| t |) + C$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| \ln (x) |) - \ln (| t |) = C$

Étape 3.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \ln (x) |}{| t |}) = C$

Étape 3.3

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| \ln (x) |}{| t |})} = e^{C}$

Étape 3.4

Réécrivez $\ln (\frac{| \ln (x) |}{| t |}) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| \ln (x) |}{| t |}$

Étape 3.5

Résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| \ln (x) |}{| t |} = e^{C}$ .

$\frac{| \ln (x) |}{| t |} = e^{C}$

Étape 3.5.2

Multipliez les deux côtés par $| t |$ .

$\frac{| \ln (x) |}{| t |} | t | = e^{C} | t |$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.3.1

Annulez le facteur commun de $| t |$ .

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Étape 3.5.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| \ln (x) |}{| t |} | t | = e^{C} | t |$

Étape 3.5.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$| \ln (x) | = e^{C} | t |$

Étape 3.5.4

Résolvez $x$ .

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Étape 3.5.4.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{C} | t |$ .

$| \ln (x) | = | t | e^{C}$

Étape 3.5.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$\ln (x) = \pm | t | e^{C}$

Étape 3.5.4.3

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x)} = e^{\pm | t | e^{C}}$

Étape 3.5.4.4

Réécrivez $\ln (x) = \pm | t | e^{C}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\pm | t | e^{C}} = x$

Étape 3.5.4.5

Résolvez $x$ .

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Étape 3.5.4.5.1

Réécrivez l’équation comme $x = e^{\pm | t | e^{C}}$ .

$x = e^{\pm | t | e^{C}}$

Étape 3.5.4.5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{\pm | t | e^{C}}$ .

$x = e^{\pm e^{C} | t |}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$x = e^{\pm C | t |}$

Étape 4.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$x = e^{C | t |}$