Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} + \frac{y^{2}}{x} = y$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle en fonction de $\frac{y}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Soustrayez $\frac{y^{2}}{x}$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d y}{d x} = y - \frac{y^{2}}{x}$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} = y - \frac{y^{2}}{x}$ par $x$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} = y - \frac{y^{2}}{x}$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{- \frac{y^{2}}{x}}{x}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{- \frac{y^{2}}{x}}{x}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{- \frac{y^{2}}{x}}{x}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - \frac{y^{2}}{x} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Multipliez $- \frac{y^{2}}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{y^{2}}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - \frac{y^{2}}{x \cdot x}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - \frac{y^{2}}{x^{1} x}$

Étape 1.1.2.3.1.2.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - \frac{y^{2}}{x^{1} x^{1}}$

Étape 1.1.2.3.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - \frac{y^{2}}{x^{1 + 1}}$

Étape 1.1.2.3.1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ comme ${(\frac{y}{x})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - {(\frac{y}{x})}^{2}$

Étape 2

Laissez $V = \frac{y}{x}$ . Remplacez $\frac{y}{x}$ par $V$ .

$\frac{d y}{d x} = V - V^{2}$

Étape 3

Résolvez $V = \frac{y}{x}$ pour $y$ .

$y = V x$

Étape 4

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de $y = V x$ par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V - V^{2}$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Résolvez $\frac{d V}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d V}{d x}$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.1.1

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d V}{d x} = V - V^{2} - V$

Étape 6.1.1.1.2

Associez les termes opposés dans $V - V^{2} - V$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.1.2.1

Soustrayez $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = - V^{2} + 0$

Étape 6.1.1.1.2.2

Additionnez $- V^{2}$ et $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = - V^{2}$

Étape 6.1.1.2

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = - V^{2}$ par $x$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = - V^{2}$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- V^{2}}{x}$

Étape 6.1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- V^{2}}{x}$

Étape 6.1.1.2.2.1.2

Divisez $\frac{d V}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- V^{2}}{x}$

Étape 6.1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2}}{x}$

Étape 6.1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{V^{2}}$ .

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{2}} (- \frac{V^{2}}{x})$

Étape 6.1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{x}$

Étape 6.1.3.2

Annulez le facteur commun de $V^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{V^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{x}$

Étape 6.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{x}$

Étape 6.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Étape 6.1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{V^{2}} d V = - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{V^{2}} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2

Intégrez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1

Retirez $V^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(V^{2})}^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(V^{2})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int V^{2 \cdot - 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int V^{- 2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $V^{- 2}$ par rapport à $V$ est $- V^{- 1}$ .

$- V^{- 1} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3

Réécrivez $- V^{- 1} + C_{1}$ comme $- \frac{1}{V} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{V} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{V} + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{V} + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Étape 6.2.3.3

Simplifiez

$- \frac{1}{V} + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 6.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \frac{1}{V} = - \ln (| x |) + C$

Étape 6.3

Résolvez $V$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$V, 1, 1$

Étape 6.3.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$V$

Étape 6.3.2

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{V} = - \ln (| x |) + C$ par $V$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{V} = - \ln (| x |) + C$ par $V$ .

$- \frac{1}{V} V = - \ln (| x |) V + C V$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $V$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{V}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{V} V = - \ln (| x |) V + C V$

Étape 6.3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{V} V = - \ln (| x |) V + C V$

Étape 6.3.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = - \ln (| x |) V + C V$

Étape 6.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.3.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \ln (| x |) V + C V$ .

$- 1 = - V \ln (| x |) + C V$

Étape 6.3.3

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $- V \ln (| x |) + C V = - 1$ .

$- V \ln (| x |) + C V = - 1$

Étape 6.3.3.2

Factorisez $V$ à partir de $- V \ln (| x |) + C V$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.1

Factorisez $V$ à partir de $- V \ln (| x |)$ .

$V (- 1 \ln (| x |)) + C V = - 1$

Étape 6.3.3.2.2

Factorisez $V$ à partir de $C V$ .

$V (- 1 \ln (| x |)) + V C = - 1$

Étape 6.3.3.2.3

Factorisez $V$ à partir de $V (- 1 \ln (| x |)) + V C$ .

$V (- 1 \ln (| x |) + C) = - 1$

Étape 6.3.3.3

Réécrivez $- 1 \ln (| x |)$ comme $- \ln (| x |)$ .

$V (- \ln (| x |) + C) = - 1$

Étape 6.3.3.4

Divisez chaque terme dans $V (- \ln (| x |) + C) = - 1$ par $- \ln (| x |) + C$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.4.1

Divisez chaque terme dans $V (- \ln (| x |) + C) = - 1$ par $- \ln (| x |) + C$ .

$\frac{V (- \ln (| x |) + C)}{- \ln (| x |) + C} = \frac{- 1}{- \ln (| x |) + C}$

Étape 6.3.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- \ln (| x |) + C$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{V (- \ln (| x |) + C)}{- \ln (| x |) + C} = \frac{- 1}{- \ln (| x |) + C}$

Étape 6.3.3.4.2.1.2

Divisez $V$ par $1$ .

$V = \frac{- 1}{- \ln (| x |) + C}$

Étape 6.3.3.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$V = - \frac{1}{- \ln (| x |) + C}$

Étape 6.3.3.4.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (| x |)$ .

$V = - \frac{1}{- (\ln (| x |)) + C}$

Étape 6.3.3.4.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $C$ .

$V = - \frac{1}{- (\ln (| x |)) - 1 (- C)}$

Étape 6.3.3.4.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\ln (| x |)) - 1 (- C)$ .

$V = - \frac{1}{- (\ln (| x |) - C)}$

Étape 6.3.3.4.3.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.4.3.5.1

Réécrivez $- (\ln (| x |) - C)$ comme $- 1 (\ln (| x |) - C)$ .

$V = - \frac{1}{- 1 (\ln (| x |) - C)}$

Étape 6.3.3.4.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$V = - - \frac{1}{\ln (| x |) - C}$

Étape 6.3.3.4.3.5.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$V = 1 \frac{1}{\ln (| x |) - C}$

Étape 6.3.3.4.3.5.4

Multipliez $\frac{1}{\ln (| x |) - C}$ par $1$ .

$V = \frac{1}{\ln (| x |) - C}$

Étape 6.4

Simplifiez la constante d’intégration.

$V = \frac{1}{\ln (| x |) + C}$

Étape 7

Remplacez $V$ par $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \frac{1}{\ln (| x |) + C}$

Étape 8

Résolvez $\frac{y}{x} = \frac{1}{\ln (| x |) + C}$ pour $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = \frac{1}{\ln (| x |) + C} x$

Étape 8.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = \frac{1}{\ln (| x |) + C} x$

Étape 8.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{1}{\ln (| x |) + C} x$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1

Associez $\frac{1}{\ln (| x |) + C}$ et $x$ .

$y = \frac{x}{\ln (| x |) + C}$