Calcul infinitésimal Exemples

$2 w t \frac{d t}{d w} = t^{2} - 2 w^{3}$

Étape 1

Laissez $v = t^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $t^{2}$ par $v$ .

$2 w t \frac{d t}{d w} = v - 2 w^{3}$

Étape 2

Déterminez $\frac{d v}{d w}$ en différenciant $t^{2}$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ est $f' (g (w)) g' (w)$ où $f (w) = w^{2}$ et $g (w) = t$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $t$ .

$\frac{d v}{d w} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d w} [t]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{d v}{d w} = 2 u \frac{d}{d w} [t]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t$ .

$\frac{d v}{d w} = 2 t \frac{d}{d w} [t]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{d}{d w} [t]$ comme $t'$ .

$\frac{d v}{d w} = 2 t t'$

Étape 3

Remplacez à nouveau la dérivée dans l’équation différentielle.

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Étape 3.1

Factorisez $2 t$ à partir de $2 w t$ .

$2 t (w) \frac{\frac{d v}{d w}}{2 t} = v - 2 w^{3}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun.

$2 t w \frac{\frac{d v}{d w}}{2 t} = v - 2 w^{3}$

Étape 3.3

Réécrivez l’expression.

$w \frac{d v}{d w} = v - 2 w^{3}$

Étape 4

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d v}{d w} + M (w) v = Q (w)$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $v$ des deux côtés de l’équation.

$w \frac{d v}{d w} - v = - 2 w^{3}$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $w \frac{d v}{d w} - v = - 2 w^{3}$ par $w$ .

$\frac{w \frac{d v}{d w}}{w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{3}}{w}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $w$ .

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{w \frac{d v}{d w}}{w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{3}}{w}$

Étape 4.3.2

Divisez $\frac{d v}{d w}$ par $1$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{3}}{w}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun à $w^{3}$ et $w$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $w$ à partir de $- 2 w^{3}$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w}$

Étape 4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.4.2.1

Élevez $w$ à la puissance $1$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w^{1}}$

Étape 4.4.2.2

Factorisez $w$ à partir de $w^{1}$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w \cdot 1}$

Étape 4.4.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w \cdot 1}$

Étape 4.4.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{2}}{1}$

Étape 4.4.2.5

Divisez $- 2 w^{2}$ par $1$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = - 2 w^{2}$

Étape 4.5

Factorisez $v$ à partir de $\frac{- v}{w}$ .

$\frac{d v}{d w} + v \frac{- 1}{w} = - 2 w^{2}$

Étape 4.6

Remettez dans l’ordre $v$ et $\frac{- 1}{w}$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- 1}{w} v = - 2 w^{2}$

Étape 5

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (w) d w}$ , où $P (w) = \frac{- 1}{w}$ .

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Étape 5.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{- 1}{w} d w}$

Étape 5.2

Intégrez $\frac{- 1}{w}$ .

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Étape 5.2.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$e^{\int - \frac{1}{w} d w}$

Étape 5.2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $w$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int \frac{1}{w} d w}$

Étape 5.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{w}$ par rapport à $w$ est $\ln (| w |)$ .

$e^{- (\ln (| w |) + C)}$

Étape 5.2.4

Simplifiez

$e^{- \ln (| w |) + C}$

Étape 5.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- \ln (w)}$

Étape 5.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (w^{- 1})}$

Étape 5.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$w^{- 1}$

Étape 5.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{w}$

Étape 6

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\frac{1}{w}$ .

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Étape 6.1

Multipliez chaque terme par $\frac{1}{w}$ .

$\frac{1}{w} \frac{d v}{d w} + \frac{1}{w} (\frac{- 1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Étape 6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1

Associez $\frac{1}{w}$ et $\frac{d v}{d w}$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} + \frac{1}{w} (\frac{- 1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Étape 6.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} + \frac{1}{w} (- \frac{1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Étape 6.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{1}{w} (\frac{1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Étape 6.2.4

Associez $\frac{1}{w}$ et $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{1}{w} \cdot \frac{v}{w} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Étape 6.2.5

Multipliez $- \frac{1}{w} \cdot \frac{v}{w}$ .

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Étape 6.2.5.1

Multipliez $\frac{v}{w}$ par $\frac{1}{w}$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w \cdot w} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Étape 6.2.5.2

Élevez $w$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{1} w} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Étape 6.2.5.3

Élevez $w$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{1} w^{1}} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Étape 6.2.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{1 + 1}} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Étape 6.2.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Étape 6.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = - 2 \frac{1}{w} w^{2}$

Étape 6.4

Associez $- 2$ et $\frac{1}{w}$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{- 2}{w} w^{2}$

Étape 6.5

Annulez le facteur commun de $w$ .

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Étape 6.5.1

Factorisez $w$ à partir de $w^{2}$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{- 2}{w} (w \cdot w)$

Étape 6.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{- 2}{w} (w \cdot w)$

Étape 6.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = - 2 w$

Étape 7

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d w} [\frac{1}{w} v] = - 2 w$

Étape 8

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d w} [\frac{1}{w} v] d w = \int - 2 w d w$

Étape 9

Intégrez le côté gauche.

$\frac{1}{w} v = \int - 2 w d w$

Étape 10

Intégrez le côté droit.

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Étape 10.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $w$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{w} v = - 2 \int w d w$

Étape 10.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $w$ par rapport à $w$ est $\frac{1}{2} w^{2}$ .

$\frac{1}{w} v = - 2 (\frac{1}{2} w^{2} + C)$

Étape 10.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.3.1

Réécrivez $- 2 (\frac{1}{2} w^{2} + C)$ comme $- 2 (\frac{1}{2}) w^{2} + C$ .

$\frac{1}{w} v = - 2 (\frac{1}{2}) w^{2} + C$

Étape 10.3.2

Simplifiez

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Étape 10.3.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{w} v = \frac{- 2}{2} w^{2} + C$

Étape 10.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 10.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{1}{w} v = \frac{2 \cdot - 1}{2} w^{2} + C$

Étape 10.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.3.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{w} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} w^{2} + C$

Étape 10.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{w} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} w^{2} + C$

Étape 10.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{w} v = \frac{- 1}{1} w^{2} + C$

Étape 10.3.2.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{w} v = - w^{2} + C$

Étape 11

Résolvez $v$ .

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Étape 11.1

Associez $\frac{1}{w}$ et $v$ .

$\frac{v}{w} = - w^{2} + C$

Étape 11.2

Multipliez les deux côtés par $w$ .

$\frac{v}{w} w = (- w^{2} + C) w$

Étape 11.3

Simplifiez

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Étape 11.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.3.1.1

Annulez le facteur commun de $w$ .

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Étape 11.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{v}{w} w = (- w^{2} + C) w$

Étape 11.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$v = (- w^{2} + C) w$

Étape 11.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.3.2.1

Simplifiez $(- w^{2} + C) w$ .

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Étape 11.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$v = - w^{2} w + C w$

Étape 11.3.2.1.2

Multipliez $w^{2}$ par $w$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.3.2.1.2.1

Déplacez $w$ .

$v = - (w \cdot w^{2}) + C w$

Étape 11.3.2.1.2.2

Multipliez $w$ par $w^{2}$ .

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Étape 11.3.2.1.2.2.1

Élevez $w$ à la puissance $1$ .

$v = - (w^{1} w^{2}) + C w$

Étape 11.3.2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$v = - w^{1 + 2} + C w$

Étape 11.3.2.1.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$v = - w^{3} + C w$

Étape 12

Remplacez toutes les occurrences de $v$ par $t^{2}$ .

$t^{2} = - w^{3} + C w$

Étape 13

Résolvez $t$ .

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Étape 13.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$t = \pm \sqrt{- w^{3} + C w}$

Étape 13.2

Factorisez $w$ à partir de $- w^{3} + C w$ .

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Étape 13.2.1

Factorisez $w$ à partir de $- w^{3}$ .

$t = \pm \sqrt{w (- w^{2}) + C w}$

Étape 13.2.2

Factorisez $w$ à partir de $C w$ .

$t = \pm \sqrt{w (- w^{2}) + w C}$

Étape 13.2.3

Factorisez $w$ à partir de $w (- w^{2}) + w C$ .

$t = \pm \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

Étape 13.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 13.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

Étape 13.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

Étape 13.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$