Calcul infinitésimal Exemples

$x (1 + y^{2}) d x - y (1 + x^{2}) d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $x (1 + y^{2}) d x$ des deux côtés de l’équation.

$- y (1 + x^{2}) d y = - x (1 + y^{2}) d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- y (1 + x^{2})) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (y (1 + x^{2})) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $1 + x^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (y (1 + x^{2})) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Étape 3.2.2

Factorisez $1 + x^{2}$ à partir de $y (1 + x^{2})$ .

$\frac{- 1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} ((1 + x^{2}) y) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Étape 3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} ((1 + x^{2}) y) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Étape 3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{1 + y^{2}} y d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Étape 3.3

Associez $\frac{- 1}{1 + y^{2}}$ et $y$ .

$\frac{- y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Étape 3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Étape 3.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = - \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

Étape 3.6

Annulez le facteur commun de $1 + y^{2}$ .

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Étape 3.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ dans le numérateur.

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

Étape 3.6.2

Factorisez $1 + y^{2}$ à partir de $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ .

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

Étape 3.6.3

Factorisez $1 + y^{2}$ à partir de $x (1 + y^{2})$ .

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} ((1 + y^{2}) x) d x$

Étape 3.6.4

Annulez le facteur commun.

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} ((1 + y^{2}) x) d x$

Étape 3.6.5

Réécrivez l’expression.

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{1 + x^{2}} x d x$

Étape 3.7

Associez $\frac{- 1}{1 + x^{2}}$ et $x$ .

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int - \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2.2

Laissez $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Alors $d u_{1} = 2 y d y$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 4.2.2.1

Laissez $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Différenciez $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Étape 4.2.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 4.2.2.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 4.2.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Étape 4.2.2.1.5

Additionnez $0$ et $2 y$ .

$2 y$

Étape 4.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$- \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2.3

Simplifiez

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Étape 4.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{u_{1}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{1}$ .

$- \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2.5

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2.6

Simplifiez

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2.7

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1 + y^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.3.2

Laissez $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Alors $d u_{2} = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 4.3.2.1

Laissez $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Différenciez $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Étape 4.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.3.2.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.3.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Étape 4.3.2.1.5

Additionnez $0$ et $2 x$ .

$2 x$

Étape 4.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 4.3.3

Simplifiez

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Étape 4.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{u_{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Étape 4.3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Étape 4.3.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Étape 4.3.5

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Étape 4.3.6

Simplifiez

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Étape 4.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 + x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) = - \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |)) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Étape 5.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |))$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Associez $\ln (| 1 + y^{2} |)$ et $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2}) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Étape 5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2}$ dans le numérateur.

$- 2 \frac{- \ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Étape 5.2.1.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Étape 5.2.1.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Étape 5.2.1.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$- - \ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Étape 5.2.1.1.3

Multipliez.

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Étape 5.2.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Étape 5.2.1.1.3.2

Multipliez $\ln (| 1 + y^{2} |)$ par $1$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Associez $\ln (| 1 + x^{2} |)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 (- \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + C)$

Étape 5.2.2.1.2

Pour écrire $C$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 (- \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Étape 5.2.2.1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.2.1.3.1

Associez $C$ et $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 (- \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Étape 5.2.2.1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Étape 5.2.2.1.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.1.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (- 1) \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Étape 5.2.2.1.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Étape 5.2.2.1.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - (- \ln (| 1 + x^{2} |) + C \cdot 2)$

Étape 5.2.2.1.4

Déplacez $2$ à gauche de $C$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - (- \ln (| 1 + x^{2} |) + 2 C)$

Étape 5.2.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - - \ln (| 1 + x^{2} |) - (2 C)$

Étape 5.2.2.1.6

Multipliez $- - \ln (| 1 + x^{2} |)$ .

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Étape 5.2.2.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 1 \ln (| 1 + x^{2} |) - (2 C)$

Étape 5.2.2.1.6.2

Multipliez $\ln (| 1 + x^{2} |)$ par $1$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = \ln (| 1 + x^{2} |) - (2 C)$

Étape 5.2.2.1.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = \ln (| 1 + x^{2} |) - 2 C$

Étape 5.3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - \ln (| 1 + x^{2} |) = - 2 C$

Étape 5.4

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |}) = - 2 C$

Étape 5.5

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |})} = e^{- 2 C}$

Étape 5.6

Réécrivez $\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |}) = - 2 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 C} = \frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |}$

Étape 5.7

Résolvez $y$ .

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Étape 5.7.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |} = e^{- 2 C}$ .

$\frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |} = e^{- 2 C}$

Étape 5.7.2

Multipliez les deux côtés par $| 1 + x^{2} |$ .

$\frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |} | 1 + x^{2} | = e^{- 2 C} | 1 + x^{2} |$

Étape 5.7.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.7.3.1

Annulez le facteur commun de $| 1 + x^{2} |$ .

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Étape 5.7.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |} | 1 + x^{2} | = e^{- 2 C} | 1 + x^{2} |$

Étape 5.7.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$| 1 + y^{2} | = e^{- 2 C} | 1 + x^{2} |$

Étape 5.7.4

Résolvez $y$ .

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Étape 5.7.4.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- 2 C} | 1 + x^{2} |$ .

$| 1 + y^{2} | = | 1 + x^{2} | e^{- 2 C}$

Étape 5.7.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{2} = \pm | 1 + x^{2} | e^{- 2 C}$

Étape 5.7.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm | 1 + x^{2} | e^{- 2 C}$ .

$1 + y^{2} = \pm e^{- 2 C} | 1 + x^{2} |$

Étape 5.7.4.4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} = \pm e^{- 2 C} | 1 + x^{2} | - 1$

Étape 5.7.4.5

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- 2 C} | 1 + x^{2} | - 1}$

Étape 6

Regroupez les termes constants.

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Étape 6.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm \sqrt{\pm C | 1 + x^{2} | - 1}$

Étape 6.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = \pm \sqrt{C | 1 + x^{2} | - 1}$