Calcul infinitésimal Exemples

$5 \frac{d y}{d x} + 2 x = 3$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$5 \frac{d y}{d x} = 3 - 2 x$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $5 \frac{d y}{d x} = 3 - 2 x$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $5 \frac{d y}{d x} = 3 - 2 x$ par $5$ .

$\frac{5 \frac{d y}{d x}}{5} = \frac{3}{5} + \frac{- 2 x}{5}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \frac{d y}{d x}}{5} = \frac{3}{5} + \frac{- 2 x}{5}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{5} + \frac{- 2 x}{5}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{5} - \frac{2 x}{5}$

Étape 1.2

Réécrivez l’équation.

$d y = (\frac{3}{5} - \frac{2 x}{5}) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{3}{5} - \frac{2 x}{5} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{3}{5} - \frac{2 x}{5} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int \frac{3}{5} d x + \int - \frac{2 x}{5} d x$

Étape 2.3.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x + C_{2} + \int - \frac{2 x}{5} d x$

Étape 2.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x + C_{2} - \int \frac{2 x}{5} d x$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{2}{5}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{2}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x + C_{2} - (\frac{2}{5} \int x d x)$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x + C_{2} - \frac{2}{5} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

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Étape 2.3.6.1

Simplifiez

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x - \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2

Simplifiez

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Étape 2.3.6.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{5}$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x - \frac{2}{2 \cdot 5} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x - \frac{2}{10} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $10$ .

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Étape 2.3.6.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x - \frac{2 (1)}{10} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.6.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x - \frac{1}{5} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{3}{5} x - \frac{1}{5} x^{2} + K$