Calcul infinitésimal Exemples

$6 x + \frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d x} = 12 x^{2}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Associez $\frac{1}{y}$ et $\frac{d y}{d x}$ .

$6 x + \frac{\frac{d y}{d x}}{y} = 12 x^{2}$

Étape 1.1.2

Soustrayez $6 x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{y} = 12 x^{2} - 6 x$

Étape 1.1.3

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{y} y = (12 x^{2} - 6 x) y$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.4.1.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.1.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{y} y = (12 x^{2} - 6 x) y$

Étape 1.1.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = (12 x^{2} - 6 x) y$

Étape 1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d y}{d x} = 12 x^{2} y - 6 x y$

Étape 1.2

Factorisez $6 x y$ à partir de $12 x^{2} y - 6 x y$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $6 x y$ à partir de $12 x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 x y (2 x) - 6 x y$

Étape 1.2.2

Factorisez $6 x y$ à partir de $- 6 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 x y (2 x) + 6 x y (- 1)$

Étape 1.2.3

Factorisez $6 x y$ à partir de $6 x y (2 x) + 6 x y (- 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 x y (2 x - 1)$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (6 x y (2 x - 1))$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{1}{y} (x y (2 x - 1))$

Étape 1.4.2

Associez $6$ et $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y} (x y (2 x - 1))$

Étape 1.4.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.4.3.1

Factorisez $y$ à partir de $x y (2 x - 1)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y} (y (x (2 x - 1)))$

Étape 1.4.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y} (y (x (2 x - 1)))$

Étape 1.4.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (x (2 x - 1))$

Étape 1.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (x (2 x) + x \cdot - 1)$

Étape 1.4.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (2 x \cdot x + x \cdot - 1)$

Étape 1.4.6

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (2 x \cdot x - 1 \cdot x)$

Étape 1.4.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.7.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.7.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (2 (x \cdot x) - 1 \cdot x)$

Étape 1.4.7.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (2 x^{2} - 1 \cdot x)$

Étape 1.4.7.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (2 x^{2} - x)$

Étape 1.4.8

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (2 x^{2}) + 6 (- x)$

Étape 1.4.9

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 12 x^{2} + 6 (- x)$

Étape 1.4.10

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 12 x^{2} - 6 x$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = (12 x^{2} - 6 x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 12 x^{2} - 6 x d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 12 x^{2} - 6 x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 12 x^{2} d x + \int - 6 x d x$

Étape 2.3.2

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , placez $12$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 12 \int x^{2} d x + \int - 6 x d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 6 x d x$

Étape 2.3.4

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 6$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 6 \int x d x$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

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Étape 2.3.6.1

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = 12 (\frac{1}{3}) x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2

Simplifiez

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Étape 2.3.6.2.1

Associez $12$ et $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{12}{3} x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2

Annulez le facteur commun à $12$ et $3$ .

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Étape 2.3.6.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3} x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.6.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 (1)} x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{1} x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.3

Associez $- 6$ et $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} + \frac{- 6}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.4

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $2$ .

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Étape 2.3.6.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.6.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} + \frac{- 3}{1} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.4.2.4

Divisez $- 3$ par $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} - 3 x^{2} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = 4 x^{3} - 3 x^{2} + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y |)} = e^{4 x^{3} - 3 x^{2} + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| y |) = 4 x^{3} - 3 x^{2} + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{4 x^{3} - 3 x^{2} + C} = | y |$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| y | = e^{4 x^{3} - 3 x^{2} + C}$ .

$| y | = e^{4 x^{3} - 3 x^{2} + C}$

Étape 3.3.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{4 x^{3} - 3 x^{2} + C}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{4 x^{3} - 3 x^{2} + C}$ comme $e^{4 x^{3} - 3 x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{4 x^{3} - 3 x^{2}} e^{C}$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{4 x^{3} - 3 x^{2}}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{4 x^{3} - 3 x^{2}}$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{4 x^{3} - 3 x^{2}}$