Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} - 2 y - 3 = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d y}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.1

Ajoutez $2 y$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} - 3 = 2 y$

Étape 1.1.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} = 2 y + 3$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{2 y + 3}$ .

$\frac{1}{2 y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 3} (2 y + 3)$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $2 y + 3$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 3} (2 y + 3)$

Étape 1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 y + 3} \frac{d y}{d x} = 1$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{2 y + 3} d y = 1 d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{2 y + 3} d y = \int d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = 2 y + 3$ . Alors $d u = 2 d y$ , donc $\frac{1}{2} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = 2 y + 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $2 y + 3$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 3]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 y + 3$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Étape 2.2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Étape 2.2.1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Étape 2.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3]$

Étape 2.2.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [3]$

Étape 2.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.2.1.1.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3$ par rapport à $y$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 2.2.1.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int d x$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int d x$

Étape 2.2.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int d x$

Étape 2.2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 y + 3$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) + C_{1} = \int d x$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) + C_{1} = x + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) = x + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |)) = 2 (x + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |))$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| 2 y + 3 |)$ .

$2 \frac{\ln (| 2 y + 3 |)}{2} = 2 (x + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\ln (| 2 y + 3 |)}{2} = 2 (x + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 2 y + 3 |) = 2 (x + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 2 y + 3 |) = 2 x + 2 C$

Étape 3.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| 2 y + 3 |)} = e^{2 x + 2 C}$

Étape 3.4

Réécrivez $\ln (| 2 y + 3 |) = 2 x + 2 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{2 x + 2 C} = | 2 y + 3 |$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $| 2 y + 3 | = e^{2 x + 2 C}$ .

$| 2 y + 3 | = e^{2 x + 2 C}$

Étape 3.5.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$2 y + 3 = \pm e^{2 x + 2 C}$

Étape 3.5.3

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 y = \pm e^{2 x + 2 C} - 3$

Étape 3.5.4

Divisez chaque terme dans $2 y = \pm e^{2 x + 2 C} - 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.5.4.1

Divisez chaque terme dans $2 y = \pm e^{2 x + 2 C} - 3$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{2 x + 2 C}}{2} + \frac{- 3}{2}$

Étape 3.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{2 x + 2 C}}{2} + \frac{- 3}{2}$

Étape 3.5.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\pm e^{2 x + 2 C}}{2} + \frac{- 3}{2}$

Étape 3.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{\pm e^{2 x + 2 C}}{2} - \frac{3}{2}$

Étape 3.5.4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\pm e^{2 x + 2 C} - 3}{2}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\pm e^{2 x + C} - 3}{2}$

Étape 4.2

Réécrivez $e^{2 x + C}$ comme $e^{2 x} e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{2 x} e^{C} - 3}{2}$

Étape 4.3

Remettez dans l’ordre $e^{2 x}$ et $e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{C} e^{2 x} - 3}{2}$

Étape 4.4

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = \frac{C e^{2 x} - 3}{2}$