Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + x$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (\frac{1}{x^{2}} + x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{1}{x^{2}} + x d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} + x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int x d x$

Étape 2.3.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.2.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$y + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int x d x$

Étape 2.3.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int x d x$

Étape 2.3.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y + C_{1} = \int x^{- 2} d x + \int x d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$y + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} + \int x d x$

Étape 2.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{3}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

$y + C_{1} = - \frac{1}{x} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{x} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{x} + K$