Calcul infinitésimal Exemples

$y^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y^{3} = 6 x$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Soustrayez $2 x y^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = 6 x - 2 x y^{3}$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $y^{2} \frac{d y}{d x} = 6 x - 2 x y^{3}$ par $y^{2}$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $y^{2} \frac{d y}{d x} = 6 x - 2 x y^{3}$ par $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2}} = \frac{6 x}{y^{2}} + \frac{- 2 x y^{3}}{y^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2}} = \frac{6 x}{y^{2}} + \frac{- 2 x y^{3}}{y^{2}}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x}{y^{2}} + \frac{- 2 x y^{3}}{y^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Annulez le facteur commun à $y^{3}$ et $y^{2}$ .

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Étape 1.1.2.3.1.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $- 2 x y^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x}{y^{2}} + \frac{y^{2} (- 2 x y)}{y^{2}}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.3.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x}{y^{2}} + \frac{y^{2} (- 2 x y)}{y^{2} \cdot 1}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x}{y^{2}} + \frac{y^{2} (- 2 x y)}{y^{2} \cdot 1}$

Étape 1.1.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x}{y^{2}} + \frac{- 2 x y}{1}$

Étape 1.1.2.3.1.2.4

Divisez $- 2 x y$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x}{y^{2}} - 2 x y$

Étape 1.2

Factorisez.

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Étape 1.2.1

Factorisez $2 x$ à partir de $\frac{6 x}{y^{2}} - 2 x y$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $\frac{6 x}{y^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x \frac{3}{y^{2}} - 2 x y$

Étape 1.2.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x \frac{3}{y^{2}} + 2 x (- 1 y)$

Étape 1.2.1.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x \frac{3}{y^{2}} + 2 x (- 1 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (\frac{3}{y^{2}} - 1 y)$

Étape 1.2.2

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (\frac{3}{y^{2}} - y)$

Étape 1.2.3

Pour écrire $- y$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (\frac{3}{y^{2}} - y \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}})$

Étape 1.2.4

Associez $- y$ et $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (\frac{3}{y^{2}} + \frac{- y \cdot y^{2}}{y^{2}})$

Étape 1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = 2 x \frac{3 - y \cdot y^{2}}{y^{2}}$

Étape 1.2.6

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.6.1

Déplacez $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x \frac{3 - (y^{2} y)}{y^{2}}$

Étape 1.2.6.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 1.2.6.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x \frac{3 - (y^{2} y^{1})}{y^{2}}$

Étape 1.2.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d y}{d x} = 2 x \frac{3 - y^{2 + 1}}{y^{2}}$

Étape 1.2.6.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x \frac{3 - y^{3}}{y^{2}}$

Étape 1.2.7

Associez les exposants.

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Étape 1.2.7.1

Associez $2$ et $\frac{3 - y^{3}}{y^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{2 (3 - y^{3})}{y^{2}}$

Étape 1.2.7.2

Associez $x$ et $\frac{2 (3 - y^{3})}{y^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 (3 - y^{3}))}{y^{2}}$

Étape 1.2.8

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (3 - y^{3})}{y^{2}}$

Étape 1.2.9

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot x (3 - y^{3})}{y^{2}}$

Étape 1.2.10

Multipliez $2$ par $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (3 - y^{3})}{y^{2}}$

Étape 1.3

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = 2 x \frac{3 - y^{3}}{y^{2}}$

Étape 1.4

Multipliez les deux côtés par $\frac{y^{2}}{3 - y^{3}}$ .

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{3 - y^{3}} (2 x \frac{3 - y^{3}}{y^{2}})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{y^{2}}{3 - y^{3}} (x \frac{3 - y^{3}}{y^{2}})$

Étape 1.5.2

Associez $2$ et $\frac{y^{2}}{3 - y^{3}}$ .

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2}}{3 - y^{3}} (x \frac{3 - y^{3}}{y^{2}})$

Étape 1.5.3

Associez $x$ et $\frac{3 - y^{3}}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2}}{3 - y^{3}} \cdot \frac{x (3 - y^{3})}{y^{2}}$

Étape 1.5.4

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 1.5.4.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $2 y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} \cdot 2}{3 - y^{3}} \cdot \frac{x (3 - y^{3})}{y^{2}}$

Étape 1.5.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} \cdot 2}{3 - y^{3}} \cdot \frac{x (3 - y^{3})}{y^{2}}$

Étape 1.5.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3 - y^{3}} (x (3 - y^{3}))$

Étape 1.5.5

Annulez le facteur commun de $3 - y^{3}$ .

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Étape 1.5.5.1

Factorisez $3 - y^{3}$ à partir de $x (3 - y^{3})$ .

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3 - y^{3}} ((3 - y^{3}) x)$

Étape 1.5.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3 - y^{3}} ((3 - y^{3}) x)$

Étape 1.5.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Étape 1.6

Réécrivez l’équation.

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} d y = 2 x d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{y^{2}}{3 - y^{3}} d y = \int 2 x d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $y^{3}$ comme ${(y^{3})}^{1}$ .

$\int \frac{y^{2}}{3 - {(y^{3})}^{1}} d y = \int 2 x d x$

Étape 2.2.2

Laissez $u_{1} = y^{3}$ . Alors $d u_{1} = 3 y^{2} d y$ , donc $\frac{1}{3} d u_{1} = y^{2} d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Laissez $u_{1} = y^{3}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Différenciez $y^{3}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3}]$

Étape 2.2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 y^{2}$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{3 - {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1} = \int 2 x d x$

Étape 2.2.3

Simplifiez

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Étape 2.2.3.1

Simplifiez

$\int \frac{1}{3 - u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1} = \int 2 x d x$

Étape 2.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{3 - u_{1}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{(3 - u_{1}) \cdot 3} d u_{1} = \int 2 x d x$

Étape 2.2.3.3

Déplacez $3$ à gauche de $3 - u_{1}$ .

$\int \frac{1}{3 (3 - u_{1})} d u_{1} = \int 2 x d x$

Étape 2.2.4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{3 - u_{1}} d u_{1} = \int 2 x d x$

Étape 2.2.5

Laissez $u_{2} = 3 - u_{1}$ . Alors $d u_{2} = - d u_{1}$ , donc $- d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.2.5.1

Laissez $u_{2} = 3 - u_{1}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 2.2.5.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 2.2.5.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2.2.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2} = \int 2 x d x$

Étape 2.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int 2 x d x$

Étape 2.2.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int 2 x d x$

Étape 2.2.8

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{3} (- (\ln (| u_{2} |) + C_{1})) = \int 2 x d x$

Étape 2.2.9

Simplifiez

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Étape 2.2.9.1

Simplifiez

$\frac{1}{3} (- \ln (| u_{2} |)) + C_{1} = \int 2 x d x$

Étape 2.2.9.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{\ln (| u_{2} |)}{3} + C_{1} = \int 2 x d x$

Étape 2.2.10

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 2.2.10.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 - u_{1}$ .

$- \frac{\ln (| 3 - u_{1} |)}{3} + C_{1} = \int 2 x d x$

Étape 2.2.10.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y^{3}$ .

$- \frac{\ln (| 3 - y^{3} |)}{3} + C_{1} = \int 2 x d x$

Étape 2.2.11

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |) + C_{1} = \int 2 x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |) + C_{1} = 2 \int x d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ comme $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.3.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |) = x^{2} + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 3$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |)) = - 3 (x^{2} + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |))$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\ln (| 3 - y^{3} |)$ et $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- \frac{\ln (| 3 - y^{3} |)}{3}) = - 3 (x^{2} + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\ln (| 3 - y^{3} |)}{3}$ dans le numérateur.

$- 3 \frac{- \ln (| 3 - y^{3} |)}{3} = - 3 (x^{2} + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$3 (- 1) \frac{- \ln (| 3 - y^{3} |)}{3} = - 3 (x^{2} + C)$

Étape 3.2.1.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 3 - y^{3} |)}{3} = - 3 (x^{2} + C)$

Étape 3.2.1.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$- - \ln (| 3 - y^{3} |) = - 3 (x^{2} + C)$

Étape 3.2.1.1.3

Multipliez.

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Étape 3.2.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \ln (| 3 - y^{3} |) = - 3 (x^{2} + C)$

Étape 3.2.1.1.3.2

Multipliez $\ln (| 3 - y^{3} |)$ par $1$ .

$\ln (| 3 - y^{3} |) = - 3 (x^{2} + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 3 - y^{3} |) = - 3 x^{2} - 3 C$

Étape 3.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| 3 - y^{3} |)} = e^{- 3 x^{2} - 3 C}$

Étape 3.4

Réécrivez $\ln (| 3 - y^{3} |) = - 3 x^{2} - 3 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- 3 x^{2} - 3 C} = | 3 - y^{3} |$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $| 3 - y^{3} | = e^{- 3 x^{2} - 3 C}$ .

$| 3 - y^{3} | = e^{- 3 x^{2} - 3 C}$

Étape 3.5.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$3 - y^{3} = \pm e^{- 3 x^{2} - 3 C}$

Étape 3.5.3

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- y^{3} = \pm e^{- 3 x^{2} - 3 C} - 3$

Étape 3.5.4

Divisez chaque terme dans $- y^{3} = \pm e^{- 3 x^{2} - 3 C} - 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.5.4.1

Divisez chaque terme dans $- y^{3} = \pm e^{- 3 x^{2} - 3 C} - 3$ par $- 1$ .

$\frac{- y^{3}}{- 1} = \frac{\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y^{3}}{1} = \frac{\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.5.4.2.2

Divisez $y^{3}$ par $1$ .

$y^{3} = \frac{\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.4.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C}}{- 1}$ .

$y^{3} = - 1 \cdot (\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C}) + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.5.4.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot (\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C})$ comme $- (\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C})$ .

$y^{3} = - (\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C}) + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.5.4.3.1.3

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

$y^{3} = - (\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C}) + 3$

Étape 3.5.5

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{- (\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C}) + 3}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt[3]{- (\pm e^{- 3 x^{2} + C}) + 3}$

Étape 4.2

Réécrivez $e^{- 3 x^{2} + C}$ comme $e^{- 3 x^{2}} e^{C}$ .

$y = \sqrt[3]{- (\pm e^{- 3 x^{2}} e^{C}) + 3}$

Étape 4.3

Remettez dans l’ordre $e^{- 3 x^{2}}$ et $e^{C}$ .

$y = \sqrt[3]{- (\pm e^{C} e^{- 3 x^{2}}) + 3}$

Étape 4.4

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = \sqrt[3]{- (C e^{- 3 x^{2}}) + 3}$