Calcul infinitésimal Exemples

$(1 + e^{x}) \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 0$

Étape 1

Vérifiez si le côté gauche de l’équation est le résultat de la dérivée du terme $(1 + e^{x}) y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 1 + e^{x}$ et $g (x) = y$ .

$(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$(1 + e^{x}) y' + y \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Étape 1.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$(1 + e^{x}) y' + y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(1 + e^{x}) y' + y (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$(1 + e^{x}) y' + y (0 + e^{x})$

Étape 1.6

Additionnez $0$ et $e^{x}$ .

$(1 + e^{x}) y' + y e^{x}$

Étape 1.7

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$(1 + e^{x}) \frac{d y}{d x} + y e^{x}$

Étape 2

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [(1 + e^{x}) y] = 0$

Étape 3

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [(1 + e^{x}) y] d x = \int 0 d x$

Étape 4

Intégrez le côté gauche.

$(1 + e^{x}) y = \int 0 d x$

Étape 5

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

L’intégrale de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(1 + e^{x}) y = 0 + C$

Étape 5.2

Additionnez $0$ et $C$ .

$(1 + e^{x}) y = C$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $(1 + e^{x}) y = C$ par $1 + e^{x}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $(1 + e^{x}) y = C$ par $1 + e^{x}$ .

$\frac{(1 + e^{x}) y}{1 + e^{x}} = \frac{C}{1 + e^{x}}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $1 + e^{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(1 + e^{x}) y}{1 + e^{x}} = \frac{C}{1 + e^{x}}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{C}{1 + e^{x}}$