Calcul infinitésimal Exemples

$x \sqrt{x^{2} + 1} - y e^{y} \frac{d y}{d x} = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x \sqrt{x^{2} + 1} - y e^{y} \frac{d y}{d x}$ .

$x \sqrt{x^{2} + 1} - y \frac{d y}{d x} e^{y} = 0$

Étape 1.1.2

Soustrayez $x \sqrt{x^{2} + 1}$ des deux côtés de l’équation.

$- y \frac{d y}{d x} e^{y} = - x \sqrt{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.3

Divisez chaque terme dans $- y \frac{d y}{d x} e^{y} = - x \sqrt{x^{2} + 1}$ par $- y e^{y}$ et simplifiez.

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Étape 1.1.3.1

Divisez chaque terme dans $- y \frac{d y}{d x} e^{y} = - x \sqrt{x^{2} + 1}$ par $- y e^{y}$ .

$\frac{- y \frac{d y}{d x} e^{y}}{- y e^{y}} = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{- y e^{y}}$

Étape 1.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y \frac{d y}{d x} e^{y}}{y e^{y}} = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{- y e^{y}}$

Étape 1.1.3.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.1.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \frac{d y}{d x} e^{y}}{y e^{y}} = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{- y e^{y}}$

Étape 1.1.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{d y}{d x} e^{y}}{e^{y}} = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{- y e^{y}}$

Étape 1.1.3.2.3

Annulez le facteur commun de $e^{y}$ .

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Étape 1.1.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x} e^{y}}{e^{y}} = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{- y e^{y}}$

Étape 1.1.3.2.3.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{- y e^{y}}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{y e^{y}}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $y e^{y}$ .

$y e^{y} \frac{d y}{d x} = y e^{y} \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{y e^{y}}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $y e^{y}$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y e^{y} \frac{d y}{d x} = y e^{y} \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{y e^{y}}$

Étape 1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y e^{y} \frac{d y}{d x} = x \sqrt{x^{2} + 1}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$y e^{y} d y = x \sqrt{x^{2} + 1} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y e^{y} d y = \int x \sqrt{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = y$ et $d v = e^{y}$ .

$y e^{y} - \int e^{y} d y = \int x \sqrt{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $e^{y}$ par rapport à $y$ est $e^{y}$ .

$y e^{y} - (e^{y} + C_{1}) = \int x \sqrt{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.2.3

Simplifiez

$y e^{y} - e^{y} + C_{1} = \int x \sqrt{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int x \sqrt{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 2.3.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 2.3.1.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 2.3.2

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u$

Étape 2.3.4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

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Étape 2.3.6.1

Réécrivez $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ comme $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.6.2

Simplifiez

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Étape 2.3.6.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{3}$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.6.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.6.2.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 2.3.6.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.6.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.6.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.6.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.6.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$e^{y} y - e^{y} = \frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$