Calcul infinitésimal Exemples

$(e^{x} + 1) d x + \frac{y^{2} - 1}{y^{2}} d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $(e^{x} + 1) d x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y^{2} - 1}{y^{2}} d y = - (e^{x} + 1) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{y^{2} - 1}{y^{2}} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1.1

Retirez $y^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (y^{2} - 1) {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Étape 2.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (y^{2} - 1) y^{2 \cdot - 1} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int (y^{2} - 1) y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Étape 2.2.2

Multipliez $(y^{2} - 1) y^{- 2}$ .

$\int y^{2} y^{- 2} - 1 y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Étape 2.2.3

Simplifiez

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Étape 2.2.3.1

Multipliez $y^{2}$ par $y^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.3.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int y^{2 - 2} - 1 y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Étape 2.2.3.1.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\int y^{0} - 1 y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez $y^{0}$ .

$\int 1 - 1 y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Étape 2.2.3.3

Réécrivez $- 1 y^{- 2}$ comme $- y^{- 2}$ .

$\int 1 - y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Étape 2.2.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int d y + \int - y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Étape 2.2.5

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} + \int - y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Étape 2.2.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} - \int y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Étape 2.2.7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 2}$ par rapport à $y$ est $- y^{- 1}$ .

$y + C_{1} - (- y^{- 1} + C_{2}) = \int - (e^{x} + 1) d x$

Étape 2.2.8

Simplifiez

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Étape 2.2.8.1

Simplifiez

$y - - \frac{1}{y} + C_{3} = \int - (e^{x} + 1) d x$

Étape 2.2.8.2

Simplifiez

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Étape 2.2.8.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y + 1 \frac{1}{y} + C_{3} = \int - (e^{x} + 1) d x$

Étape 2.2.8.2.2

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $1$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \int - (e^{x} + 1) d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - \int e^{x} + 1 d x$

Étape 2.3.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - (\int e^{x} d x + \int d x)$

Étape 2.3.3

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - (e^{x} + C_{4} + \int d x)$

Étape 2.3.4

Appliquez la règle de la constante.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - (e^{x} + C_{4} + x + C_{5})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - (e^{x} + x) + C_{6}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y + \frac{1}{y} = - (e^{x} + x) + K$