Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d s}{d t} = \frac{(2 t + 1) (2 s - 1)}{2 (t^{2} + t)}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Regroupez des facteurs.

$\frac{d s}{d t} = \frac{2 t + 1}{2 (t^{2} + t)} (2 s - 1)$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{2 s - 1}$ .

$\frac{1}{2 s - 1} \frac{d s}{d t} = \frac{1}{2 s - 1} (\frac{2 t + 1}{2 (t^{2} + t)} (2 s - 1))$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun de $2 s - 1$ .

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Étape 1.3.1.1

Factorisez $2 s - 1$ à partir de $\frac{2 t + 1}{2 (t^{2} + t)} (2 s - 1)$ .

$\frac{1}{2 s - 1} \frac{d s}{d t} = \frac{1}{2 s - 1} ((2 s - 1) \frac{2 t + 1}{2 (t^{2} + t)})$

Étape 1.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 s - 1} \frac{d s}{d t} = \frac{1}{2 s - 1} ((2 s - 1) \frac{2 t + 1}{2 (t^{2} + t)})$

Étape 1.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 s - 1} \frac{d s}{d t} = \frac{2 t + 1}{2 (t^{2} + t)}$

Étape 1.3.2

Factorisez $t$ à partir de $t^{2} + t$ .

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Étape 1.3.2.1

Factorisez $t$ à partir de $t^{2}$ .

$\frac{1}{2 s - 1} \frac{d s}{d t} = \frac{2 t + 1}{2 (t \cdot t + t)}$

Étape 1.3.2.2

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2 s - 1} \frac{d s}{d t} = \frac{2 t + 1}{2 (t \cdot t + t^{1})}$

Étape 1.3.2.3

Factorisez $t$ à partir de $t^{1}$ .

$\frac{1}{2 s - 1} \frac{d s}{d t} = \frac{2 t + 1}{2 (t \cdot t + t \cdot 1)}$

Étape 1.3.2.4

Factorisez $t$ à partir de $t \cdot t + t \cdot 1$ .

$\frac{1}{2 s - 1} \frac{d s}{d t} = \frac{2 t + 1}{2 (t (t + 1))}$

$\frac{1}{2 s - 1} \frac{d s}{d t} = \frac{2 t + 1}{2 t (t + 1)}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{2 s - 1} d s = \frac{2 t + 1}{2 t (t + 1)} d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{2 s - 1} d s = \int \frac{2 t + 1}{2 t (t + 1)} d t$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u_{1} = 2 s - 1$ . Alors $d u_{1} = 2 d s$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d s$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u_{1} = 2 s - 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d s}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $2 s - 1$ .

$\frac{d}{d s} [2 s - 1]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 s - 1$ par rapport à $s$ est $\frac{d}{d s} [2 s] + \frac{d}{d s} [- 1]$ .

$\frac{d}{d s} [2 s] + \frac{d}{d s} [- 1]$

Étape 2.2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d s} [2 s]$ .

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Étape 2.2.1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $s$ , la dérivée de $2 s$ par rapport à $s$ est $2 \frac{d}{d s} [s]$ .

$2 \frac{d}{d s} [s] + \frac{d}{d s} [- 1]$

Étape 2.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ est $n s^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d s} [- 1]$

Étape 2.2.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d s} [- 1]$

Étape 2.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.2.1.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $s$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $s$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 2.2.1.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{2 t + 1}{2 t (t + 1)} d t$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{u_{1}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{2 t + 1}{2 t (t + 1)} d t$

Étape 2.2.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{2 t + 1}{2 t (t + 1)} d t$

Étape 2.2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{2 t + 1}{2 t (t + 1)} d t$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{2 t + 1}{2 t (t + 1)} d t$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{2 t + 1}{2 t (t + 1)} d t$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 s - 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 s - 1 |) + C_{1} = \int \frac{2 t + 1}{2 t (t + 1)} d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 s - 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{2 t + 1}{t (t + 1)} d t$

Étape 2.3.2

Laissez $u_{2} = t (t + 1)$ . Alors $d u_{2} = (2 t + 1) d t$ , donc $\frac{1}{2 t + 1} d u_{2} = d t$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u_{2} = t (t + 1)$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $t (t + 1)$ .

$\frac{d}{d t} [t (t + 1)]$

Étape 2.3.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t$ et $g (t) = t + 1$ .

$t \frac{d}{d t} [t + 1] + (t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 2.3.2.1.3

Différenciez.

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Étape 2.3.2.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t + 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$t (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + (t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 2.3.2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$t (1 + \frac{d}{d t} [1]) + (t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 2.3.2.1.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$t (1 + 0) + (t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 2.3.2.1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.2.1.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$t \cdot 1 + (t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 2.3.2.1.3.4.2

Multipliez $t$ par $1$ .

$t + (t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 2.3.2.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$t + (t + 1) \cdot 1$

Étape 2.3.2.1.3.6

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.3.2.1.3.6.1

Multipliez $t + 1$ par $1$ .

$t + t + 1$

Étape 2.3.2.1.3.6.2

Additionnez $t$ et $t$ .

$2 t + 1$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 s - 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.3

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 s - 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| 2 s - 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Étape 2.3.5

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $t (t + 1)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 s - 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| t (t + 1) |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 s - 1 |) = \frac{1}{2} \ln (| t (t + 1) |) + C$

Étape 3

Résolvez $s$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 s - 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| t (t + 1) |) + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 s - 1 |))$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| 2 s - 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| 2 s - 1 |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln (| t (t + 1) |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\ln (| 2 s - 1 |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln (| t (t + 1) |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 2 s - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| t (t + 1) |) + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} \ln (| t (t + 1) |) + C)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 2 s - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| t \cdot t + t \cdot 1 |) + C)$

Étape 3.2.2.1.1.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$\ln (| 2 s - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| t^{2} + t \cdot 1 |) + C)$

Étape 3.2.2.1.1.3

Multipliez $t$ par $1$ .

$\ln (| 2 s - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| t^{2} + t |) + C)$

Étape 3.2.2.1.1.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| t^{2} + t |)$ .

$\ln (| 2 s - 1 |) = 2 (\frac{\ln (| t^{2} + t |)}{2} + C)$

Étape 3.2.2.1.2

Pour écrire $C$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 2 s - 1 |) = 2 (\frac{\ln (| t^{2} + t |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Étape 3.2.2.1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.2.1.3.1

Associez $C$ et $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 2 s - 1 |) = 2 (\frac{\ln (| t^{2} + t |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Étape 3.2.2.1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (| 2 s - 1 |) = 2 \frac{\ln (| t^{2} + t |) + C \cdot 2}{2}$

Étape 3.2.2.1.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (| 2 s - 1 |) = 2 \frac{\ln (| t^{2} + t |) + C \cdot 2}{2}$

Étape 3.2.2.1.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 2 s - 1 |) = \ln (| t^{2} + t |) + C \cdot 2$

Étape 3.2.2.1.4

Déplacez $2$ à gauche de $C$ .

$\ln (| 2 s - 1 |) = \ln (| t^{2} + t |) + 2 C$

Étape 3.3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| 2 s - 1 |) - \ln (| t^{2} + t |) = 2 C$

Étape 3.4

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 s - 1 |}{| t^{2} + t |}) = 2 C$

Étape 3.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.1

Factorisez $t$ à partir de $t^{2} + t$ .

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Étape 3.5.1.1

Factorisez $t$ à partir de $t^{2}$ .

$\ln (\frac{| 2 s - 1 |}{| t \cdot t + t |}) = 2 C$

Étape 3.5.1.2

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\ln (\frac{| 2 s - 1 |}{| t \cdot t + t |}) = 2 C$

Étape 3.5.1.3

Factorisez $t$ à partir de $t^{1}$ .

$\ln (\frac{| 2 s - 1 |}{| t \cdot t + t \cdot 1 |}) = 2 C$

Étape 3.5.1.4

Factorisez $t$ à partir de $t \cdot t + t \cdot 1$ .

$\ln (\frac{| 2 s - 1 |}{| t (t + 1) |}) = 2 C$

Étape 3.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (\frac{| 2 s - 1 |}{| t \cdot t + t \cdot 1 |}) = 2 C$

Étape 3.5.3

Multipliez $t$ par $t$ .

$\ln (\frac{| 2 s - 1 |}{| t^{2} + t \cdot 1 |}) = 2 C$

Étape 3.5.4

Multipliez $t$ par $1$ .

$\ln (\frac{| 2 s - 1 |}{| t^{2} + t |}) = 2 C$

Étape 3.5.5

Factorisez $t$ à partir de $t^{2} + t$ .

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Étape 3.5.5.1

Factorisez $t$ à partir de $t^{2}$ .

$\ln (\frac{| 2 s - 1 |}{| t \cdot t + t |}) = 2 C$

Étape 3.5.5.2

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\ln (\frac{| 2 s - 1 |}{| t \cdot t + t |}) = 2 C$

Étape 3.5.5.3

Factorisez $t$ à partir de $t^{1}$ .

$\ln (\frac{| 2 s - 1 |}{| t \cdot t + t \cdot 1 |}) = 2 C$

Étape 3.5.5.4

Factorisez $t$ à partir de $t \cdot t + t \cdot 1$ .

$\ln (\frac{| 2 s - 1 |}{| t (t + 1) |}) = 2 C$

Étape 3.6

Pour résoudre $s$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| 2 s - 1 |}{| t (t + 1) |})} = e^{2 C}$

Étape 3.7

Réécrivez $\ln (\frac{| 2 s - 1 |}{| t (t + 1) |}) = 2 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| 2 s - 1 |}{| t (t + 1) |}$

Étape 3.8

Résolvez $s$ .

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Étape 3.8.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| 2 s - 1 |}{| t (t + 1) |} = e^{2 C}$ .

$\frac{| 2 s - 1 |}{| t (t + 1) |} = e^{2 C}$

Étape 3.8.2

Multipliez les deux côtés par $| t (t + 1) |$ .

$\frac{| 2 s - 1 |}{| t (t + 1) |} | t (t + 1) | = e^{2 C} | t (t + 1) |$

Étape 3.8.3

Simplifiez

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Étape 3.8.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.8.3.1.1

Annulez le facteur commun de $| t (t + 1) |$ .

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Étape 3.8.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| 2 s - 1 |}{| t (t + 1) |} | t (t + 1) | = e^{2 C} | t (t + 1) |$

Étape 3.8.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$| 2 s - 1 | = e^{2 C} | t (t + 1) |$

Étape 3.8.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.8.3.2.1

Simplifiez $e^{2 C} | t (t + 1) |$ .

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Étape 3.8.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$| 2 s - 1 | = e^{2 C} | t \cdot t + t \cdot 1 |$

Étape 3.8.3.2.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.8.3.2.1.2.1

Multipliez $t$ par $t$ .

$| 2 s - 1 | = e^{2 C} | t^{2} + t \cdot 1 |$

Étape 3.8.3.2.1.2.2

Multipliez $t$ par $1$ .

$| 2 s - 1 | = e^{2 C} | t^{2} + t |$

Étape 3.8.4

Résolvez $s$ .

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Étape 3.8.4.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{2 C} | t^{2} + t |$ .

$| 2 s - 1 | = | t^{2} + t | e^{2 C}$

Étape 3.8.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$2 s - 1 = \pm | t^{2} + t | e^{2 C}$

Étape 3.8.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm | t^{2} + t | e^{2 C}$ .

$2 s - 1 = \pm e^{2 C} | t^{2} + t |$

Étape 3.8.4.4

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 s = \pm e^{2 C} | t^{2} + t | + 1$

Étape 3.8.4.5

Divisez chaque terme dans $2 s = \pm e^{2 C} | t^{2} + t | + 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.8.4.5.1

Divisez chaque terme dans $2 s = \pm e^{2 C} | t^{2} + t | + 1$ par $2$ .

$\frac{2 s}{2} = \frac{\pm e^{2 C} | t^{2} + t |}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 3.8.4.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.8.4.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.8.4.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 s}{2} = \frac{\pm e^{2 C} | t^{2} + t |}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 3.8.4.5.2.1.2

Divisez $s$ par $1$ .

$s = \frac{\pm e^{2 C} | t^{2} + t |}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 3.8.4.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.8.4.5.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$s = \frac{\pm e^{2 C} | t^{2} + t | + 1}{2}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$s = \frac{\pm C | t^{2} + t | + 1}{2}$

Étape 4.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$s = \frac{C | t^{2} + t | + 1}{2}$