Calcul infinitésimal Exemples

$x (y^{2} - 4) d x + y d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $x (y^{2} - 4) d x$ des deux côtés de l’équation.

$y d y = - x (y^{2} - 4) d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y^{2} - 4}$ .

$\frac{1}{y^{2} - 4} y d y = \frac{1}{y^{2} - 4} (- x (y^{2} - 4)) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2} - 2^{2}} y d y = \frac{1}{y^{2} - 4} (- x (y^{2} - 4)) d x$

Étape 3.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 2$ .

$\frac{1}{(y + 2) (y - 2)} y d y = \frac{1}{y^{2} - 4} (- x (y^{2} - 4)) d x$

Étape 3.2

Associez $\frac{1}{(y + 2) (y - 2)}$ et $y$ .

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = \frac{1}{y^{2} - 4} (- x (y^{2} - 4)) d x$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = - \frac{1}{y^{2} - 4} (x (y^{2} - 4)) d x$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $y^{2} - 4$ .

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Étape 3.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{y^{2} - 4}$ dans le numérateur.

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = \frac{- 1}{y^{2} - 4} (x (y^{2} - 4)) d x$

Étape 3.4.2

Factorisez $y^{2} - 4$ à partir de $x (y^{2} - 4)$ .

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = \frac{- 1}{y^{2} - 4} ((y^{2} - 4) x) d x$

Étape 3.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = \frac{- 1}{y^{2} - 4} ((y^{2} - 4) x) d x$

Étape 3.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = - x d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{y}{(y + 2) (y - 2)} d y = \int - x d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Laissez $u = (y + 2) (y - 2)$ . Alors $d u = 2 y d y$ , donc $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.2.1.1

Laissez $u = (y + 2) (y - 2)$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Différenciez $(y + 2) (y - 2)$ .

$\frac{d}{d y} [(y + 2) (y - 2)]$

Étape 4.2.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = y + 2$ et $g (y) = y - 2$ .

$(y + 2) \frac{d}{d y} [y - 2] + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

Étape 4.2.1.1.3

Différenciez.

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Étape 4.2.1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - 2$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$(y + 2) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

Étape 4.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(y + 2) (1 + \frac{d}{d y} [- 2]) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

Étape 4.2.1.1.3.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $y$ est $0$ .

$(y + 2) (1 + 0) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

Étape 4.2.1.1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.1.1.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(y + 2) \cdot 1 + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

Étape 4.2.1.1.3.4.2

Multipliez $y + 2$ par $1$ .

$y + 2 + (y - 2) \frac{d}{d y} [y + 2]$

Étape 4.2.1.1.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 2$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$y + 2 + (y - 2) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2])$

Étape 4.2.1.1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y + 2 + (y - 2) (1 + \frac{d}{d y} [2])$

Étape 4.2.1.1.3.7

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2$ par rapport à $y$ est $0$ .

$y + 2 + (y - 2) (1 + 0)$

Étape 4.2.1.1.3.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 4.2.1.1.3.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$y + 2 + (y - 2) \cdot 1$

Étape 4.2.1.1.3.8.2

Multipliez $y - 2$ par $1$ .

$y + 2 + y - 2$

Étape 4.2.1.1.3.8.3

Additionnez $y$ et $y$ .

$2 y + 2 - 2$

Étape 4.2.1.1.3.8.4

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 4.2.1.1.3.8.4.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$2 y + 0$

Étape 4.2.1.1.3.8.4.2

Additionnez $2 y$ et $0$ .

$2 y$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - x d x$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - x d x$

Étape 4.2.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int - x d x$

Étape 4.2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - x d x$

Étape 4.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int - x d x$

Étape 4.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int - x d x$

Étape 4.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $(y + 2) (y - 2)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |) + C_{1} = \int - x d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |) + C_{1} = - \int x d x$

Étape 4.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Étape 4.3.3

Réécrivez $- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ comme $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |) + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 5.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 2) (y - 2) |))$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Développez $(y + 2) (y - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y (y - 2) + 2 (y - 2) |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 5.2.1.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 (y - 2) |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 5.2.1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 5.2.1.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.1.1.2.1

Associez les termes opposés dans $y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2$ .

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Étape 5.2.1.1.2.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $y \cdot - 2$ et $2 y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y - 2 y + 2 y + 2 \cdot - 2 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 5.2.1.1.2.1.2

Additionnez $- 2 y$ et $2 y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + 0 + 2 \cdot - 2 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 5.2.1.1.2.1.3

Additionnez $y \cdot y$ et $0$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + 2 \cdot - 2 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 5.2.1.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1.2.2.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 \cdot - 2 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 5.2.1.1.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 4 |)) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 5.2.1.1.2.3

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.1.1.2.3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| y^{2} - 4 |)$ .

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 5.2.1.1.2.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 5.2.1.1.2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| y^{2} - 4 |) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez $2 (- \frac{1}{2} x^{2} + C)$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y^{2} - 4 |) = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + C)$

Étape 5.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| y^{2} - 4 |) = 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 C$

Étape 5.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x^{2}}{2}$ dans le numérateur.

$\ln (| y^{2} - 4 |) = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 C$

Étape 5.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (| y^{2} - 4 |) = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 C$

Étape 5.2.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (| y^{2} - 4 |) = - x^{2} + 2 C$

Étape 5.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y^{2} - 4 |)} = e^{- x^{2} + 2 C}$

Étape 5.4

Réécrivez $\ln (| y^{2} - 4 |) = - x^{2} + 2 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- x^{2} + 2 C} = | y^{2} - 4 |$

Étape 5.5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.5.1

Réécrivez l’équation comme $| y^{2} - 4 | = e^{- x^{2} + 2 C}$ .

$| y^{2} - 4 | = e^{- x^{2} + 2 C}$

Étape 5.5.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y^{2} - 4 = \pm e^{- x^{2} + 2 C}$

Étape 5.5.3

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$y^{2} = \pm e^{- x^{2} + 2 C} + 4$

Étape 5.5.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- x^{2} + 2 C} + 4}$

Étape 6

Regroupez les termes constants.

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Étape 6.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- x^{2} + C} + 4}$

Étape 6.2

Réécrivez $e^{- x^{2} + C}$ comme $e^{- x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- x^{2}} e^{C} + 4}$

Étape 6.3

Remettez dans l’ordre $e^{- x^{2}}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm e^{C} e^{- x^{2}} + 4}$

Étape 6.4

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = \pm \sqrt{C e^{- x^{2}} + 4}$