Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 2 \frac{d y}{d x} = 6 x$

Étape 1

Laissez $v = \frac{d y}{d x}$ . Puis $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $v$ et $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ par $\frac{d v}{d x}$ pour obtenir une équation différentielle avec la variable dépendante $v$ et la variable indépendante $x$ .

$x \frac{d v}{d x} + 2 v = 6 x$

Étape 2

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d v}{d x} + 2 v = 6 x$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

Étape 2.2.2

Divisez $\frac{d v}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

Étape 2.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

Étape 2.3.2

Divisez $6$ par $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = 6$

Étape 2.4

Factorisez $v$ à partir de $\frac{2 v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v \frac{2}{x} = 6$

Étape 2.5

Remettez dans l’ordre $v$ et $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{2}{x} v = 6$

Étape 3

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{2}{x}$ .

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Étape 3.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Étape 3.2

Intégrez $\frac{2}{x}$ .

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Étape 3.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 3.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C_{1})}$

Étape 3.2.3

Simplifiez

$e^{2 \ln (| x |) + C_{1}}$

Étape 3.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{2 \ln (x)}$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{2})}$

Étape 3.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{2}$

Étape 4

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $x^{2}$ .

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Étape 4.1

Multipliez chaque terme par $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} v) = x^{2} \cdot 6$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Associez $\frac{2}{x}$ et $v$ .

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x^{2} \frac{2 v}{x} = x^{2} \cdot 6$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x \cdot x \frac{2 v}{x} = x^{2} \cdot 6$

Étape 4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x \cdot x \frac{2 v}{x} = x^{2} \cdot 6$

Étape 4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x (2 v) = x^{2} \cdot 6$

Étape 4.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} \frac{d v}{d x} + 2 x v = x^{2} \cdot 6$

Étape 4.3

Déplacez $6$ à gauche de $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d v}{d x} + 2 x v = 6 x^{2}$

Étape 5

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [x^{2} v] = 6 x^{2}$

Étape 6

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} v] d x = \int 6 x^{2} d x$

Étape 7

Intégrez le côté gauche.

$x^{2} v = \int 6 x^{2} d x$

Étape 8

Intégrez le côté droit.

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Étape 8.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$x^{2} v = 6 \int x^{2} d x$

Étape 8.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x^{2} v = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Étape 8.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.3.1

Réécrivez $6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ comme $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$x^{2} v = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Étape 8.3.2

Simplifiez

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Étape 8.3.2.1

Associez $6$ et $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} v = \frac{6}{3} x^{3} + C_{2}$

Étape 8.3.2.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 8.3.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$x^{2} v = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C_{2}$

Étape 8.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$x^{2} v = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C_{2}$

Étape 8.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} v = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{2}$

Étape 8.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} v = \frac{2}{1} x^{3} + C_{2}$

Étape 8.3.2.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$x^{2} v = 2 x^{3} + C_{2}$

Étape 9

Divisez chaque terme dans $x^{2} v = 2 x^{3} + C_{2}$ par $x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 9.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} v = 2 x^{3} + C_{2}$ par $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} v}{x^{2}} = \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Étape 9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} v}{x^{2}} = \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Étape 9.2.1.2

Divisez $v$ par $1$ .

$v = \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Étape 9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.1

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x^{2}$ .

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Étape 9.3.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $2 x^{3}$ .

$v = \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Étape 9.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$v = \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Étape 9.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$v = \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Étape 9.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$v = \frac{2 x}{1} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Étape 9.3.1.2.4

Divisez $2 x$ par $1$ .

$v = 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $v$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Étape 11

Réécrivez l’équation.

$d y = (2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}}) d x$

Étape 12

Intégrez les deux côtés.

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Étape 12.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

Étape 12.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{3} = \int 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

Étape 12.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 12.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{3} = \int 2 x d x + \int \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

Étape 12.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{3} = 2 \int x d x + \int \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

Étape 12.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

Étape 12.3.4

Comme $C_{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $C_{2}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + C_{2} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 12.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 12.3.5.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + C_{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 12.3.5.2

Simplifiez

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Étape 12.3.5.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 12.3.5.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 12.3.5.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 12.3.5.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} \int x^{- 2} d x$

Étape 12.3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} (- x^{- 1} + C_{5})$

Étape 12.3.7

Simplifiez

$y + C_{3} = x^{2} + C_{2} (- x^{- 1}) + C_{6}$

Étape 12.3.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{3} = x^{2} - C_{2} x^{- 1} + C_{6}$

Étape 12.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $D$ .

$y = x^{2} - C x^{- 1} + D$