Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} + 3 (y + x^{2}) = \frac{\sin (x)}{x}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Réécrivez l’équation comme $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \frac{d y}{d x} + 3 y + 3 x^{2} = \frac{\sin (x)}{x}$

Étape 1.1.2

Soustrayez $3 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d y}{d x} + 3 y = \frac{\sin (x)}{x} - 3 x^{2}$

Étape 1.1.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$x \frac{d y}{d x} + 3 y = - 3 x^{2} + \frac{\sin (x)}{x}$

Étape 1.2

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} + 3 y = - 3 x^{2} + \frac{\sin (x)}{x}$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{3 y}{x} = \frac{- 3 x^{2}}{x} + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{3 y}{x} = \frac{- 3 x^{2}}{x} + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Étape 1.3.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{- 3 x^{2}}{x} + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x (- 3 x)}{x} + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Étape 1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x (- 3 x)}{x^{1}} + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Étape 1.4.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x (- 3 x)}{x \cdot 1} + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Étape 1.4.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x (- 3 x)}{x \cdot 1} + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Étape 1.4.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{- 3 x}{1} + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Étape 1.4.2.5

Divisez $- 3 x$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = - 3 x + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Étape 1.5

Factorisez $y$ à partir de $\frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{3}{x} = - 3 x + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Étape 1.6

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{3}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = - 3 x + \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{3}{x}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{3}{x} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{3}{x}$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 2.2.3

Simplifiez

$e^{3 \ln (| x |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{3 \ln (x)}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{3})}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{3}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $x^{3}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} (\frac{3}{x} y) = x^{3} (- 3 x) + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{3}{x}$ et $y$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{3 y}{x} = x^{3} (- 3 x) + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} (- 3 x) + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Étape 3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} (- 3 x) + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Étape 3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{2} (3 y) = x^{3} (- 3 x) + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Étape 3.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} (- 3 x) + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{3} x + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Étape 3.3.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.2.1

Déplacez $x$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Étape 3.3.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{1 + 3} + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Étape 3.3.2.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + x^{3} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Étape 3.3.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + x \cdot x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Étape 3.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + x \cdot x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Étape 3.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + x^{2} \frac{\sin (x)}{x}$

Étape 3.3.4

Associez $x^{2}$ et $\frac{\sin (x)}{x}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + \frac{x^{2} \sin (x)}{x}$

Étape 3.3.5

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 3.3.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} \sin (x)$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + \frac{x (x \sin (x))}{x}$

Étape 3.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + \frac{x (x \sin (x))}{x^{1}}$

Étape 3.3.5.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + \frac{x (x \sin (x))}{x \cdot 1}$

Étape 3.3.5.2.3

Annulez le facteur commun.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + \frac{x (x \sin (x))}{x \cdot 1}$

Étape 3.3.5.2.4

Réécrivez l’expression.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + \frac{x \sin (x)}{1}$

Étape 3.3.5.2.5

Divisez $x \sin (x)$ par $1$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = - 3 x^{4} + x \sin (x)$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] = - 3 x^{4} + x \sin (x)$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [x^{3} y] d x = \int - 3 x^{4} + x \sin (x) d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$x^{3} y = \int - 3 x^{4} + x \sin (x) d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$x^{3} y = \int - 3 x^{4} d x + \int x \sin (x) d x$

Étape 7.2

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$x^{3} y = - 3 \int x^{4} d x + \int x \sin (x) d x$

Étape 7.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{3} y = - 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int x \sin (x) d x$

Étape 7.4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \sin (x)$ .

$x^{3} y = - 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x$

Étape 7.5

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{5}$ .

$x^{3} y = - 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x$

Étape 7.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x^{3} y = - 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x$

Étape 7.7

Simplifiez

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Étape 7.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{3} y = - 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x$

Étape 7.7.2

Multipliez $\int \cos (x) d x$ par $1$ .

$x^{3} y = - 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x$

Étape 7.8

L’intégrale de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (x)$ .

$x^{3} y = - 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$

Étape 7.9

Simplifiez

$x^{3} y = - \frac{3 x^{5}}{5} - x \cos (x) + \sin (x) + C$

Étape 7.10

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{3} y = - \frac{3}{5} x^{5} - x \cos (x) + \sin (x) + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $x^{3} y = - \frac{3}{5} x^{5} - x \cos (x) + \sin (x) + C$ par $x^{3}$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $x^{3} y = - \frac{3}{5} x^{5} - x \cos (x) + \sin (x) + C$ par $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{- \frac{3}{5} x^{5}}{x^{3}} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{- \frac{3}{5} x^{5}}{x^{3}} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- \frac{3}{5} x^{5}}{x^{3}} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1.1

Annulez le facteur commun à $x^{5}$ et $x^{3}$ .

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Étape 8.3.1.1.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $- \frac{3}{5} x^{5}$ .

$y = \frac{x^{3} (- \frac{3}{5} x^{2})}{x^{3}} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Étape 8.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.1.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$y = \frac{x^{3} (- \frac{3}{5} x^{2})}{x^{3} \cdot 1} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Étape 8.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{3} (- \frac{3}{5} x^{2})}{x^{3} \cdot 1} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Étape 8.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{- \frac{3}{5} x^{2}}{1} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Étape 8.3.1.1.2.4

Divisez $- \frac{3}{5} x^{2}$ par $1$ .

$y = - \frac{3}{5} x^{2} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Étape 8.3.1.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{3}{5}$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 3}{5} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Étape 8.3.1.3

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2}$ .

$y = - \frac{3 \cdot x^{2}}{5} + \frac{- x \cos (x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Étape 8.3.1.4

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{3}$ .

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Étape 8.3.1.4.1

Factorisez $x$ à partir de $- x \cos (x)$ .

$y = - \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{x (- \cos (x))}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Étape 8.3.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.1.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$y = - \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{x (- \cos (x))}{x \cdot x^{2}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Étape 8.3.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{x (- \cos (x))}{x \cdot x^{2}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Étape 8.3.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{- \cos (x)}{x^{2}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Étape 8.3.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{3 x^{2}}{5} - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{\sin (x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$