Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{\ln (y)}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{y}{\ln (y)}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{\ln (y)}{y}$ .

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (y)}{y} (x \frac{y}{\ln (y)})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Associez $x$ et $\frac{y}{\ln (y)}$ .

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (y)}{y} \cdot \frac{x y}{\ln (y)}$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun de $\ln (y)$ .

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Étape 1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (y)}{y} \cdot \frac{x y}{\ln (y)}$

Étape 1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (x y)$

Étape 1.3.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.3.3.1

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x)$

Étape 1.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x)$

Étape 1.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = x$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{\ln (y)}{y} d y = x d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{\ln (y)}{y} d y = \int x d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = \ln (y)$ . Alors $d u = \frac{1}{y} d y$ , donc $y d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = \ln (y)$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Étape 2.2.1.1.2

La dérivée de $\ln (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u d u = \int x d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \int x d x$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\ln (y)$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (y) + C_{1} = \int x d x$

Étape 2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (y) = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (y)) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (y))$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln^{2} (y)$ .

$2 \frac{\ln^{2} (y)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\ln^{2} (y)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln^{2} (y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\ln^{2} (y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln^{2} (y) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\ln^{2} (y) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\ln^{2} (y) = x^{2} + 2 K$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\ln (y) = \pm \sqrt{x^{2} + 2 K}$

Étape 3.3.2

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.3.2.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\ln (y) = \sqrt{x^{2} + 2 K}$

Étape 3.3.2.2

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (y)} = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$

Étape 3.3.2.3

Réécrivez $\ln (y) = \sqrt{x^{2} + 2 K}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}} = y$

Étape 3.3.2.4

Réécrivez l’équation comme $y = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$ .

$y = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$

Étape 3.3.2.5

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\ln (y) = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$

Étape 3.3.2.6

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (y)} = e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}}$

Étape 3.3.2.7

Réécrivez $\ln (y) = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}} = y$

Étape 3.3.2.8

Réécrivez l’équation comme $y = e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}}$ .

$y = e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}}$

Étape 3.3.2.9

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$

$y = e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}}$

$y = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$

$y = e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}}$

$y = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$

$y = e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}}$

$y = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$

$y = e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = e^{\sqrt{x^{2} + K}}$

$y = e^{- \sqrt{x^{2} + K}}$