Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + x y = 2 x$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = x$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int x d x}$

Étape 1.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{\frac{1}{2} x^{2}}$

Étape 1.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} (2 x)$

Étape 2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = 2 e^{\frac{x^{2}}{2}} x$

Étape 2.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = 2 e^{\frac{x^{2}}{2}} x$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + x y e^{\frac{x^{2}}{2}} = 2 x e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] = 2 x e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] d x = \int 2 x e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int 2 x e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 \int x e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

Étape 6.2

Laissez $u_{2} = e^{\frac{x^{2}}{2}}$ . Alors $d u_{2} = x e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$ , donc $\frac{1}{x e^{\frac{x^{2}}{2}}} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 6.2.1

Laissez $u_{2} = e^{\frac{x^{2}}{2}}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 6.2.1.1

Différenciez $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}}]$

Étape 6.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \frac{x^{2}}{2}$ .

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Étape 6.2.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Étape 6.2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Étape 6.2.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\frac{x^{2}}{2}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Étape 6.2.1.3

Différenciez.

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Étape 6.2.1.3.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 6.2.1.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 6.2.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x)$

Étape 6.2.1.3.4

Simplifiez les termes.

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Étape 6.2.1.3.4.1

Associez $2$ et $\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

Étape 6.2.1.3.4.2

Associez $\frac{2 e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2}$ et $x$ .

$\frac{2 e^{\frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

Étape 6.2.1.3.4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.3.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 e^{\frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

Étape 6.2.1.3.4.3.2

Divisez $e^{\frac{x^{2}}{2}} x$ par $1$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} x$

Étape 6.2.1.3.4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{\frac{x^{2}}{2}} x$ .

$x e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Étape 6.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 \int d u_{2}$

Étape 6.3

Appliquez la règle de la constante.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (u_{2} + C)$

Étape 6.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.4.1

Simplifiez

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 u_{2} + C$

Étape 6.4.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 e^{\frac{x^{2}}{2}} + C$

Étape 6.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$ par $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$ par $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1.1

Annulez le facteur commun à $e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ et $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

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Étape 7.3.1.1.1

Factorisez $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ à partir de $2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ .

$y = \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 7.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.1.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 7.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 7.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}}{1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 7.3.1.1.2.4

Divisez $2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}$ par $1$ .

$y = 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 7.3.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.1.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ .

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Étape 7.3.1.2.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2$ .

$y = 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) - x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 7.3.1.2.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{2}$ .

$y = 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 7.3.1.2.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ .

$y = 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 7.3.1.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 7.3.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y = 2 e^{\frac{x^{2} (1 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 7.3.1.2.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$y = 2 e^{\frac{x^{2} \cdot 0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 7.3.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $0$ .

$y = 2 e^{\frac{0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 7.3.1.4

Divisez $0$ par $2$ .

$y = 2 e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 7.3.1.5

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$y = 2 \cdot 1 + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 7.3.1.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = 2 + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$