Calcul infinitésimal Exemples

$(y^{2} - y) \frac{d y}{d x} = x + \ln (x)$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$(y^{2} - y) d y = (x + \ln (x)) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y^{2} - y d y = \int x + \ln (x) d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int y^{2} d y + \int - y d y = \int x + \ln (x) d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int - y d y = \int x + \ln (x) d x$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} - \int y d y = \int x + \ln (x) d x$

Étape 2.2.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} - (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int x + \ln (x) d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x + \ln (x) d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x d x + \int \ln (x) d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int \ln (x) d x$

Étape 2.3.3

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.4

Simplifiez

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Étape 2.3.4.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Étape 2.3.4.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.3.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Étape 2.3.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \ln (x) x - \int d x$

Étape 2.3.5

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \ln (x) x - (x + C_{5})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (x) x - x + C_{6}$

Étape 2.3.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + x \ln (x) - x + C_{6}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} - \frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + x \ln (x) - x + K$