Calcul infinitésimal Exemples

$2 \frac{d y}{d t} - y = 4 \sin (3 t)$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d t} + M (t) y = Q (t)$ .

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $2 \frac{d y}{d t} - y = 4 \sin (3 t)$ par $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d t}}{2} + \frac{- y}{2} = \frac{4 \sin (3 t)}{2}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \frac{d y}{d t}}{2} + \frac{- y}{2} = \frac{4 \sin (3 t)}{2}$

Étape 1.2.2

Divisez $\frac{d y}{d t}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = \frac{4 \sin (3 t)}{2}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4 \sin (3 t)$ .

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = \frac{2 (2 \sin (3 t))}{2}$

Étape 1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = \frac{2 (2 \sin (3 t))}{2 (1)}$

Étape 1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = \frac{2 (2 \sin (3 t))}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = \frac{2 \sin (3 t)}{1}$

Étape 1.3.2.4

Divisez $2 \sin (3 t)$ par $1$ .

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = 2 \sin (3 t)$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d y}{d t} + \frac{- 1}{2} y = 2 \sin (3 t)$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (t) d t}$ , où $P (t) = \frac{- 1}{2}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{- 1}{2} d t}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{- 1}{2}$ .

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Étape 2.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{\int - \frac{1}{2} d t}$

Étape 2.2.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{- \frac{1}{2} t + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- \frac{1}{2} t}$

Étape 2.4

Associez $t$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{- \frac{t}{2}}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{- \frac{t}{2}}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} + e^{- \frac{t}{2}} (\frac{- 1}{2} y) = e^{- \frac{t}{2}} (2 \sin (3 t))$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{- 1}{2} e^{- \frac{t}{2}} y = e^{- \frac{t}{2}} (2 \sin (3 t))$

Étape 3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} - \frac{1}{2} e^{- \frac{t}{2}} y = e^{- \frac{t}{2}} (2 \sin (3 t))$

Étape 3.2.3

Associez $e^{- \frac{t}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} - \frac{e^{- \frac{t}{2}}}{2} y = e^{- \frac{t}{2}} (2 \sin (3 t))$

Étape 3.2.4

Associez $y$ et $\frac{e^{- \frac{t}{2}}}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} - \frac{y e^{- \frac{t}{2}}}{2} = e^{- \frac{t}{2}} (2 \sin (3 t))$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} - \frac{y e^{- \frac{t}{2}}}{2} = 2 e^{- \frac{t}{2}} \sin (3 t)$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{2}} y] = 2 e^{- \frac{t}{2}} \sin (3 t)$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{2}} y] d t = \int 2 e^{- \frac{t}{2}} \sin (3 t) d t$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{- \frac{t}{2}} y = \int 2 e^{- \frac{t}{2}} \sin (3 t) d t$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int e^{- \frac{t}{2}} \sin (3 t) d t$

Étape 7.2

Laissez $u = - \frac{t}{2}$ . Alors $d u = - \frac{1}{2} d t$ , donc $- 2 d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.2.1

Laissez $u = - \frac{t}{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 7.2.1.1

Différenciez $- \frac{t}{2}$ .

$\frac{d}{d t} [- \frac{t}{2}]$

Étape 7.2.1.2

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- \frac{t}{2}$ par rapport à $t$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 7.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Étape 7.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - e^{u} \sin (3 (- 2 u)) \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - e^{u} \sin (- 6 u) \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 7.3.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - e^{u} \sin (- 6 u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Étape 7.3.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - e^{u} \sin (- 6 u) (1 \cdot 2) d u$

Étape 7.3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - e^{u} \sin (- 6 u) \cdot 2 d u$

Étape 7.3.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - 2 e^{u} \sin (- 6 u) d u$

Étape 7.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 (- 2 \int e^{u} \sin (- 6 u) d u)$

Étape 7.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.5.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 \int e^{u} \sin (- 6 u) d u$

Étape 7.5.2

Remettez dans l’ordre $e^{u}$ et $\sin (- 6 u)$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 \int \sin (- 6 u) e^{u} d u$

Étape 7.6

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int w d v = w v - \int v d w$ , où $w = \sin (- 6 u)$ et $dv = e^{u}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} - \int e^{u} (- 6 \cos (- 6 u)) d u)$

Étape 7.7

Comme $- 6$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 6$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} - (- 6 \int e^{u} (\cos (- 6 u)) d u))$

Étape 7.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.8.1

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 \int e^{u} (\cos (- 6 u)) d u)$

Étape 7.8.2

Remettez dans l’ordre $e^{u}$ et $\cos (- 6 u)$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 \int \cos (- 6 u) e^{u} d u)$

Étape 7.9

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int w d v = w v - \int v d w$ , où $w = \cos (- 6 u)$ et $dv = e^{u}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u} - \int e^{u} (6 \sin (- 6 u)) d u))$

Étape 7.10

Comme $6$ est constant par rapport à $u$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u} - (6 \int e^{u} (\sin (- 6 u)) d u)))$

Étape 7.11

Simplifiez en multipliant.

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Étape 7.11.1

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u} - 6 \int e^{u} (\sin (- 6 u)) d u))$

Étape 7.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u}) + 6 (- 6 \int e^{u} (\sin (- 6 u)) d u))$

Étape 7.11.3

Multipliez $- 6$ par $6$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u}) - 36 \int e^{u} (\sin (- 6 u)) d u)$

Étape 7.12

En résolvant $\int e^{u} \sin (- 6 u) d u$ , nous trouvons que $\int e^{u} \sin (- 6 u) d u$ = $\frac{\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u})}{37}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\frac{\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u})}{37} + C)$

Étape 7.13

Réécrivez $- 4 (\frac{\sin (- 6 u) e^{u} + 6 \cos (- 6 u) e^{u}}{37} + C)$ comme $- 4 \frac{e^{u} (\sin (- 6 u) + 6 \cos (- 6 u))}{37} + C$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 \frac{e^{u} (\sin (- 6 u) + 6 \cos (- 6 u))}{37} + C$

Étape 7.14

Simplifiez

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Étape 7.14.1

Associez $- 4$ et $\frac{e^{u} (\sin (- 6 u) + 6 \cos (- 6 u))}{37}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = \frac{- 4 (e^{u} (\sin (- 6 u) + 6 \cos (- 6 u)))}{37} + C$

Étape 7.14.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{u} (\sin (- 6 u) + 6 \cos (- 6 u))}{37} + C$

Étape 7.15

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- \frac{t}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (- 6 (- \frac{t}{2})) + 6 \cos (- 6 (- \frac{t}{2})))}{37} + C$

Étape 7.16

Simplifiez

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Étape 7.16.1

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (6 \frac{t}{2}) + 6 \cos (- 6 (- \frac{t}{2})))}{37} + C$

Étape 7.16.2

Associez $6$ et $\frac{t}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{6 t}{2}) + 6 \cos (- 6 (- \frac{t}{2})))}{37} + C$

Étape 7.16.3

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{6 t}{2}) + 6 \cos (6 \frac{t}{2}))}{37} + C$

Étape 7.16.4

Associez $6$ et $\frac{t}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{6 t}{2}) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

Étape 7.17

Simplifiez

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Étape 7.17.1

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 7.17.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 t$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{2 (3 t)}{2}) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

Étape 7.17.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.17.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{2 (3 t)}{2 (1)}) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

Étape 7.17.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{2 (3 t)}{2 \cdot 1}) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

Étape 7.17.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{3 t}{1}) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

Étape 7.17.1.2.4

Divisez $3 t$ par $1$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

Étape 7.17.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 7.17.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6 t$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (\frac{2 (3 t)}{2}))}{37} + C$

Étape 7.17.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.17.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (\frac{2 (3 t)}{2 (1)}))}{37} + C$

Étape 7.17.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (\frac{2 (3 t)}{2 \cdot 1}))}{37} + C$

Étape 7.17.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (\frac{3 t}{1}))}{37} + C$

Étape 7.17.2.2.4

Divisez $3 t$ par $1$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{37} + C$

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4}{37} e^{- \frac{1}{2} t} (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)) + C$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Simplifiez

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Étape 8.1.1

Associez $t$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4}{37} \cdot (e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))) + C$

Étape 8.1.2

Associez $e^{- \frac{t}{2}}$ et $\frac{4}{37}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)) + C$

Étape 8.2

Divisez chaque terme dans $e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)) + C$ par $e^{- \frac{t}{2}}$ et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Divisez chaque terme dans $e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)) + C$ par $e^{- \frac{t}{2}}$ .

$\frac{e^{- \frac{t}{2}} y}{e^{- \frac{t}{2}}} = \frac{- \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- \frac{t}{2}}$ .

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Étape 8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- \frac{t}{2}} y}{e^{- \frac{t}{2}}} = \frac{- \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Étape 8.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Étape 8.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.3.1.1

Déplacez $4$ à gauche de $e^{- \frac{t}{2}}$ .

$y = \frac{- \frac{4 e^{- \frac{t}{2}}}{37} (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Étape 8.2.3.1.2

Factorisez $\frac{4 e^{- \frac{t}{2}}}{37}$ à partir de $\frac{- \frac{4 e^{- \frac{t}{2}}}{37} (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}}$ .

$y = \frac{4 e^{- \frac{t}{2}}}{37} \cdot \frac{- 1 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Étape 8.2.3.1.3

Associez.

$y = \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (- 1 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)))}{37 e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Étape 8.2.3.1.4

Annulez le facteur commun de $e^{- \frac{t}{2}}$ .

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Étape 8.2.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (- 1 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)))}{37 e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Étape 8.2.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{4 (- 1 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)))}{37} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Étape 8.2.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y = \frac{- 4 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{37} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Étape 8.2.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{4 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{37} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$