Calcul infinitésimal Exemples

$(x^{2} + 1) (y^{3} - 1) d x = x^{2} y^{2} d y$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$x^{2} y^{2} d y = (x^{2} + 1) (y^{3} - 1) d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{3} - 1} y^{2} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Étape 3.2

Associez $\frac{1}{y^{3} - 1}$ et $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{y^{3} - 1} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Étape 3.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{y^{2}}{y^{3} - 1^{3}} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Étape 3.3.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = y$ et $b = 1$ .

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y \cdot 1 + 1^{2})} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Étape 3.3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.3.1

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1^{2})} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Étape 3.3.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $y^{3} - 1$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $y^{3} - 1$ à partir de $x^{2} (y^{3} - 1)$ .

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{(y^{3} - 1) x^{2}} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Étape 3.4.2

Factorisez $y^{3} - 1$ à partir de $(x^{2} + 1) (y^{3} - 1)$ .

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{(y^{3} - 1) x^{2}} ((y^{3} - 1) (x^{2} + 1)) d x$

Étape 3.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{(y^{3} - 1) x^{2}} ((y^{3} - 1) (x^{2} + 1)) d x$

Étape 3.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} + 1) d x$

Étape 3.5

Multipliez $\frac{1}{x^{2}}$ par $x^{2} + 1$ .

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Laissez $u = (y - 1) (y^{2} + y + 1)$ . Alors $d u = 3 y^{2} d y$ , donc $\frac{1}{3} d u = y^{2} d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.2.1.1

Laissez $u = (y - 1) (y^{2} + y + 1)$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Différenciez $(y - 1) (y^{2} + y + 1)$ .

$\frac{d}{d y} [(y - 1) (y^{2} + y + 1)]$

Étape 4.2.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = y - 1$ et $g (y) = y^{2} + y + 1$ .

$(y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} + y + 1] + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

Étape 4.2.1.1.3

Différenciez.

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Étape 4.2.1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} + y + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$(y - 1) (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

Étape 4.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(y - 1) (2 y + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

Étape 4.2.1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(y - 1) (2 y + 1 + \frac{d}{d y} [1]) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

Étape 4.2.1.1.3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$(y - 1) (2 y + 1 + 0) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

Étape 4.2.1.1.3.5

Additionnez $2 y + 1$ et $0$ .

$(y - 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

Étape 4.2.1.1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$(y - 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1])$

Étape 4.2.1.1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(y - 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1])$

Étape 4.2.1.1.3.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$(y - 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) (1 + 0)$

Étape 4.2.1.1.3.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.1.1.3.9.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(y - 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) \cdot 1$

Étape 4.2.1.1.3.9.2

Multipliez $y^{2} + y + 1$ par $1$ .

$(y - 1) (2 y + 1) + y^{2} + y + 1$

Étape 4.2.1.1.4

Simplifiez

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Étape 4.2.1.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$(y - 1) (2 y) + (y - 1) \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Étape 4.2.1.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$y (2 y) - 1 (2 y) + (y - 1) \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Étape 4.2.1.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$y (2 y) - 1 (2 y) + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Étape 4.2.1.1.4.4

Associez des termes.

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Étape 4.2.1.1.4.4.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$2 (y^{1} y) - 1 (2 y) + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Étape 4.2.1.1.4.4.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$2 (y^{1} y^{1}) - 1 (2 y) + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Étape 4.2.1.1.4.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 y^{1 + 1} - 1 (2 y) + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Étape 4.2.1.1.4.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 y^{2} - 1 (2 y) + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Étape 4.2.1.1.4.4.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 y^{2} - 2 y + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Étape 4.2.1.1.4.4.6

Multipliez $y$ par $1$ .

$2 y^{2} - 2 y + y - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Étape 4.2.1.1.4.4.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 y^{2} - 2 y + y - 1 + y^{2} + y + 1$

Étape 4.2.1.1.4.4.8

Additionnez $- 2 y$ et $y$ .

$2 y^{2} - y - 1 + y^{2} + y + 1$

Étape 4.2.1.1.4.4.9

Additionnez $2 y^{2}$ et $y^{2}$ .

$3 y^{2} - y - 1 + y + 1$

Étape 4.2.1.1.4.4.10

Additionnez $- y$ et $y$ .

$3 y^{2} + 0 - 1 + 1$

Étape 4.2.1.1.4.4.11

Additionnez $3 y^{2}$ et $0$ .

$3 y^{2} - 1 + 1$

Étape 4.2.1.1.4.4.12

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$3 y^{2} + 0$

Étape 4.2.1.1.4.4.13

Additionnez $3 y^{2}$ et $0$ .

$3 y^{2}$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Étape 4.2.2.2

Déplacez $3$ à gauche de $u$ .

$\int \frac{1}{3 u} d u = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Étape 4.2.3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Étape 4.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Étape 4.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Étape 4.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $(y - 1) (y^{2} + y + 1)$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.3.1.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int (x^{2} + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 4.3.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 4.3.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int (x^{2} + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 4.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int (x^{2} + 1) x^{- 2} d x$

Étape 4.3.2

Multipliez $(x^{2} + 1) x^{- 2}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Étape 4.3.3

Simplifiez

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Étape 4.3.3.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.3.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int x^{2 - 2} + 1 x^{- 2} d x$

Étape 4.3.3.1.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int x^{0} + 1 x^{- 2} d x$

Étape 4.3.3.2

Simplifiez $x^{0}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int 1 + 1 x^{- 2} d x$

Étape 4.3.3.3

Multipliez $x^{- 2}$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int 1 + x^{- 2} d x$

Étape 4.3.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int d x + \int x^{- 2} d x$

Étape 4.3.5

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = x + C_{2} + \int x^{- 2} d x$

Étape 4.3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = x + C_{2} - x^{- 1} + C_{3}$

Étape 4.3.7

Simplifiez

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = x - \frac{1}{x} + C_{4}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) = x - \frac{1}{x} + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Étape 5.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |))$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Développez $(y - 1) (y^{2} + y + 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y \cdot y^{2} + y \cdot y + y \cdot 1 - 1 y^{2} - 1 y - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Étape 5.2.1.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.1.1.2.1

Associez les termes opposés dans $y \cdot y^{2} + y \cdot y + y \cdot 1 - 1 y^{2} - 1 y - 1 \cdot 1$ .

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Étape 5.2.1.1.2.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $y \cdot 1$ et $- 1 y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y \cdot y^{2} + y \cdot y + 1 y - 1 y^{2} - 1 y - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Étape 5.2.1.1.2.1.2

Soustrayez $1 y$ de $1 y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y \cdot y^{2} + y \cdot y - 1 y^{2} + 0 - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Étape 5.2.1.1.2.1.3

Additionnez $y \cdot y^{2} + y \cdot y - 1 y^{2}$ et $0$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y \cdot y^{2} + y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Étape 5.2.1.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1.2.2.1

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.1.2.2.1.1

Multipliez $y$ par $y^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1.2.2.1.1.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{1} y^{2} + y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Étape 5.2.1.1.2.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{1 + 2} + y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Étape 5.2.1.1.2.2.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} + y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Étape 5.2.1.1.2.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} + y^{2} - 1 y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Étape 5.2.1.1.2.2.3

Réécrivez $- 1 y^{2}$ comme $- y^{2}$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} + y^{2} - y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Étape 5.2.1.1.2.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} + y^{2} - y^{2} - 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Étape 5.2.1.1.2.3

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.1.1.2.3.1

Associez les termes opposés dans $y^{3} + y^{2} - y^{2} - 1$ .

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Étape 5.2.1.1.2.3.1.1

Soustrayez $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} + 0 - 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Étape 5.2.1.1.2.3.1.2

Additionnez $y^{3}$ et $0$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} - 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Étape 5.2.1.1.2.3.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $\ln (| y^{3} - 1 |)$ .

$3 \frac{\ln (| y^{3} - 1 |)}{3} = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Étape 5.2.1.1.2.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.1.1.2.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{\ln (| y^{3} - 1 |)}{3} = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Étape 5.2.1.1.2.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez $3 (x - \frac{1}{x} + C)$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 x + 3 (- \frac{1}{x}) + 3 C$

Étape 5.2.2.1.2

Multipliez $3 (- \frac{1}{x})$ .

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Étape 5.2.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 x - 3 \frac{1}{x} + 3 C$

Étape 5.2.2.1.2.2

Associez $- 3$ et $\frac{1}{x}$ .

$\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 x + \frac{- 3}{x} + 3 C$

Étape 5.2.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 x - \frac{3}{x} + 3 C$

Étape 5.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y^{3} - 1 |)} = e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C}$

Étape 5.4

Réécrivez $\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 x - \frac{3}{x} + 3 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C} = | y^{3} - 1 |$

Étape 5.5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.5.1

Réécrivez l’équation comme $| y^{3} - 1 | = e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C}$ .

$| y^{3} - 1 | = e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C}$

Étape 5.5.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y^{3} - 1 = \pm e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C}$

Étape 5.5.3

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y^{3} = \pm e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C} + 1$

Étape 5.5.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C} + 1}$

Étape 5.5.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.5.1

Pour écrire $3 x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 x \cdot x}{x} - \frac{3}{x} + 3 C} + 1}$

Étape 5.5.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 x \cdot x - 3}{x} + 3 C} + 1}$

Étape 5.5.5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.5.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x \cdot x - 3$ .

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Étape 5.5.5.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x \cdot x$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x \cdot x) - 3}{x} + 3 C} + 1}$

Étape 5.5.5.3.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x \cdot x) + 3 (- 1)}{x} + 3 C} + 1}$

Étape 5.5.5.3.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (x \cdot x) + 3 (- 1)$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x \cdot x - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

Étape 5.5.5.3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{1} x - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

Étape 5.5.5.3.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{1} x^{1} - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

Étape 5.5.5.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{1 + 1} - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

Étape 5.5.5.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

Étape 5.5.5.3.6

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - 1^{2})}{x} + 3 C} + 1}$

Étape 5.5.5.3.7

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

Étape 5.5.5.4

Pour écrire $3 C$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{x} + \frac{3 C x}{x}} + 1}$

Étape 5.5.5.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x + 1) (x - 1) + 3 C x}{x}} + 1}$

Étape 5.5.5.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.5.6.1

Factorisez $3$ à partir de $3 (x + 1) (x - 1) + 3 C x$ .

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Étape 5.5.5.6.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 (x + 1) (x - 1)$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 ((x + 1) (x - 1)) + 3 C x}{x}} + 1}$

Étape 5.5.5.6.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3 C x$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 ((x + 1) (x - 1)) + 3 (C x)}{x}} + 1}$

Étape 5.5.5.6.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 ((x + 1) (x - 1)) + 3 (C x)$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 ((x + 1) (x - 1) + C x)}{x}} + 1}$

Étape 5.5.5.6.2

Développez $(x + 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.5.5.6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x (x - 1) + 1 (x - 1) + C x)}{x}} + 1}$

Étape 5.5.5.6.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) + C x)}{x}} + 1}$

Étape 5.5.5.6.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 + C x)}{x}} + 1}$

Étape 5.5.5.6.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.5.5.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.5.6.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 + C x)}{x}} + 1}$

Étape 5.5.5.6.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 + C x)}{x}} + 1}$

Étape 5.5.5.6.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 + C x)}{x}} + 1}$

Étape 5.5.5.6.3.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 + C x)}{x}} + 1}$

Étape 5.5.5.6.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - x + x - 1 + C x)}{x}} + 1}$

Étape 5.5.5.6.3.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} + 0 - 1 + C x)}{x}} + 1}$

Étape 5.5.5.6.3.3

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - 1 + C x)}{x}} + 1}$