Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 3 x + 2 y$

Étape 1

Soustrayez $2 y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} - 2 y = 3 x$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - 2$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - 2 d x}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{- 2 x + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- 2 x}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{- 2 x}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 2 x} (- 2 y) = e^{- 2 x} (3 x)$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} (3 x)$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = 3 e^{- 2 x} x$

Étape 3.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = 3 e^{- 2 x} x$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 y e^{- 2 x} = 3 x e^{- 2 x}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] = 3 x e^{- 2 x}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] d x = \int 3 x e^{- 2 x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{- 2 x} y = \int 3 x e^{- 2 x} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 2 x} y = 3 \int x e^{- 2 x} d x$

Étape 7.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Associez $e^{- 2 x}$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Étape 7.3.2

Associez $x$ et $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Étape 7.3.3

Associez $e^{- 2 x}$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Étape 7.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Étape 7.5

Simplifiez

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Étape 7.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Étape 7.5.2

Multipliez $\int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ par $1$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Étape 7.6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Étape 7.7

Laissez $u = - 2 x$ . Alors $d u = - 2 d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.7.1

Laissez $u = - 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.7.1.1

Différenciez $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 7.7.1.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Étape 7.7.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2$

Étape 7.7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u)$

Étape 7.8

Simplifiez

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Étape 7.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

Étape 7.8.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u)$

Étape 7.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

Étape 7.10

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

Étape 7.11

Simplifiez

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Étape 7.11.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Étape 7.11.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Étape 7.12

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Étape 7.13

Simplifiez

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Étape 7.13.1

Réécrivez $3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ comme $3 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Étape 7.13.2

Simplifiez

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Étape 7.13.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Étape 7.13.2.2

Associez $e^{- 2 x}$ et $\frac{x}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Étape 7.13.2.3

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

Étape 7.14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 x$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Étape 7.15

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x}) + C$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Simplifiez

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Étape 8.1.1

Associez $e^{- 2 x}$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{e^{- 2 x}}{2} \cdot x - \frac{1}{4} \cdot e^{- 2 x}) + C$

Étape 8.1.2

Associez $x$ et $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \cdot e^{- 2 x}) + C$

Étape 8.1.3

Associez $e^{- 2 x}$ et $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Étape 8.2

Divisez chaque terme dans $e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$ par $e^{- 2 x}$ et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Divisez chaque terme dans $e^{- 2 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$ par $e^{- 2 x}$ .

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4})}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- 2 x}$ .

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Étape 8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4})}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Étape 8.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4})}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Étape 8.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 8.2.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2}) + 3 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 8.2.3.2.2

Multipliez $3 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2})$ .

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Étape 8.2.3.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y = \frac{- 3 \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 3 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 8.2.3.2.2.2

Associez $- 3$ et $\frac{x e^{- 2 x}}{2}$ .

$y = \frac{\frac{- 3 (x e^{- 2 x})}{2} + 3 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 8.2.3.2.3

Multipliez $3 (- \frac{e^{- 2 x}}{4})$ .

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Étape 8.2.3.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y = \frac{\frac{- 3 (x e^{- 2 x})}{2} - 3 \frac{e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 8.2.3.2.3.2

Associez $- 3$ et $\frac{e^{- 2 x}}{4}$ .

$y = \frac{\frac{- 3 (x e^{- 2 x})}{2} + \frac{- 3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 8.2.3.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.3.2.4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 8.2.3.2.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 2 x}}{2} - \frac{3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 8.2.3.2.5

Pour écrire $- \frac{3 x e^{- 2 x}}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 2 x}}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 8.2.3.2.6

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.2.3.2.6.1

Multipliez $\frac{3 x e^{- 2 x}}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 2 x} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 8.2.3.2.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 2 x} \cdot 2}{4} - \frac{3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 8.2.3.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\frac{- 3 x e^{- 2 x} \cdot 2 - 3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 8.2.3.2.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.3.2.8.1

Factorisez $3 e^{- 2 x}$ à partir de $- 3 x e^{- 2 x} \cdot 2 - 3 e^{- 2 x}$ .

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Étape 8.2.3.2.8.1.1

Factorisez $3 e^{- 2 x}$ à partir de $- 3 x e^{- 2 x} \cdot 2$ .

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- x \cdot 2) - 3 e^{- 2 x}}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 8.2.3.2.8.1.2

Factorisez $3 e^{- 2 x}$ à partir de $- 3 e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- x \cdot 2) + 3 e^{- 2 x} (- 1)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 8.2.3.2.8.1.3

Factorisez $3 e^{- 2 x}$ à partir de $3 e^{- 2 x} (- x \cdot 2) + 3 e^{- 2 x} (- 1)$ .

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- x \cdot 2 - 1)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 8.2.3.2.8.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- 2 x - 1)}{4} + C}{e^{- 2 x}}$

Étape 8.2.3.2.9

Pour écrire $C$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- 2 x - 1)}{4} + C \cdot \frac{4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Étape 8.2.3.2.10

Associez $C$ et $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- 2 x - 1)}{4} + \frac{C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Étape 8.2.3.2.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- 2 x - 1) + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Étape 8.2.3.2.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.3.2.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{\frac{3 e^{- 2 x} (- 2 x) + 3 e^{- 2 x} \cdot - 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Étape 8.2.3.2.12.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{\frac{3 \cdot - 2 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} \cdot - 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Étape 8.2.3.2.12.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y = \frac{\frac{3 \cdot - 2 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Étape 8.2.3.2.12.4

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$y = \frac{\frac{- 6 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + C \cdot 4}{4}}{e^{- 2 x}}$

Étape 8.2.3.2.12.5

Déplacez $4$ à gauche de $C$ .

$y = \frac{\frac{- 6 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + 4 C}{4}}{e^{- 2 x}}$

Étape 8.2.3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{- 6 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + 4 C}{4} \cdot \frac{1}{e^{- 2 x}}$

Étape 8.2.3.4

Multipliez $\frac{- 6 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + 4 C}{4}$ par $\frac{1}{e^{- 2 x}}$ .

$y = \frac{- 6 e^{- 2 x} x - 3 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Étape 8.2.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 6 e^{- 2 x} x$ .

$y = \frac{- (6 e^{- 2 x} x) - 3 e^{- 2 x} + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Étape 8.2.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{- (6 e^{- 2 x} x) - (3 e^{- 2 x}) + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Étape 8.2.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (6 e^{- 2 x} x) - (3 e^{- 2 x})$ .

$y = \frac{- (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x}) + 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Étape 8.2.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $4 C$ .

$y = \frac{- (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x}) - (- 4 C)}{4 e^{- 2 x}}$

Étape 8.2.3.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x}) - (- 4 C)$ .

$y = \frac{- (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C)}{4 e^{- 2 x}}$

Étape 8.2.3.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.2.3.10.1

Réécrivez $- (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C)$ comme $- 1 (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C)$ .

$y = \frac{- 1 (6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C)}{4 e^{- 2 x}}$

Étape 8.2.3.10.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C}{4 e^{- 2 x}}$

Étape 8.2.3.10.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{6 e^{- 2 x} x + 3 e^{- 2 x} - 4 C}{4 e^{- 2 x}}$ .

$y = - \frac{6 x e^{- 2 x} + 3 e^{- 2 x} - 4 C}{4 e^{- 2 x}}$