Calcul infinitésimal Exemples

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + 3 x y = 6 x$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 1 \frac{d y}{d x} + 3 x y = 6 x$

Étape 1.1.1.2

Multipliez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 3 x y = 6 x$

Étape 1.1.2

Soustrayez $3 x y$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = 6 x - 3 x y$

Étape 1.1.3

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de $x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.3.1

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de $x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = 6 x - 3 x y$

Étape 1.1.3.2

Élevez $\frac{d y}{d x}$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = 6 x - 3 x y$

Étape 1.1.3.3

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 = 6 x - 3 x y$

Étape 1.1.3.4

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = 6 x - 3 x y$

Étape 1.1.4

Divisez chaque terme dans $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = 6 x - 3 x y$ par $x^{2} + 1$ et simplifiez.

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Étape 1.1.4.1

Divisez chaque terme dans $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = 6 x - 3 x y$ par $x^{2} + 1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{6 x}{x^{2} + 1} + \frac{- 3 x y}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 1$ .

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Étape 1.1.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{6 x}{x^{2} + 1} + \frac{- 3 x y}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.4.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x}{x^{2} + 1} + \frac{- 3 x y}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x - 3 x y}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.4.3.2.1

Factorisez $3 x$ à partir de $6 x - 3 x y$ .

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Étape 1.1.4.3.2.1.1

Factorisez $3 x$ à partir de $6 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (2) - 3 x y}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.4.3.2.1.2

Factorisez $3 x$ à partir de $- 3 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (2) + 3 x (- 1 y)}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.4.3.2.1.3

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (2) + 3 x (- 1 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (2 - 1 y)}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.4.3.2.2

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (2 - y)}{x^{2} + 1}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{x^{2} + 1} (2 - y)$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{2 - y}$ .

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - y} (\frac{3 x}{x^{2} + 1} (2 - y))$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $2 - y$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $2 - y$ à partir de $\frac{3 x}{x^{2} + 1} (2 - y)$ .

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - y} ((2 - y) \frac{3 x}{x^{2} + 1})$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - y} ((2 - y) \frac{3 x}{x^{2} + 1})$

Étape 1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{x^{2} + 1}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{2 - y} d y = \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{2 - y} d y = \int \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u_{1} = 2 - y$ . Alors $d u_{1} = - d y$ , donc $- d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u_{1} = 2 - y$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 2.2.1.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{- 1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.2.2

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int - \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 - y$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \int \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = 3 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u_{2} = x^{2} + 1$ . Alors $d u_{2} = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u_{2} = x^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 2.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.2.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 2.3.2.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{u_{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Étape 2.3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{2}$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Étape 2.3.5

Associez $\frac{1}{2}$ et $3$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.6

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \frac{3}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Étape 2.3.7

Simplifiez

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \frac{3}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Étape 2.3.8

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2} + 1$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \ln (| 2 - y |) = \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $\ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$- \ln (| 2 - y |) = \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$- \ln (| 2 - y |) - \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Étape 3.3

Pour écrire $- \ln (| 2 - y |)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \ln (| 2 - y |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Étape 3.4

Associez $- \ln (| 2 - y |)$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \ln (| 2 - y |) \cdot 2}{2} - \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \ln (| 2 - y |) \cdot 2 - 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Étape 3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (| 2 - y |) \cdot 2 - 3 \ln (| x^{2} + 1 |)$ .

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Étape 3.6.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 3.6.1.1

Remettez dans l’ordre $2$ et $- y$ .

$\frac{- \ln (| - y + 2 |) \cdot 2 - 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Étape 3.6.1.2

Déplacez $\ln (| - y + 2 |)$ .

$\frac{- 1 \cdot (2 \ln (| - y + 2 |)) - 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Étape 3.6.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 \cdot 2 \ln (| - y + 2 |)$ .

$\frac{- (2 \ln (| - y + 2 |)) - 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Étape 3.6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 \ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$\frac{- (2 \ln (| - y + 2 |)) - (3 \ln (| x^{2} + 1 |))}{2} = C$

Étape 3.6.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 \ln (| - y + 2 |)) - (3 \ln (| x^{2} + 1 |))$ .

$\frac{- (2 \ln (| - y + 2 |) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |))}{2} = C$

Étape 3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 \ln (| - y + 2 |) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Étape 3.8

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.8.1

Simplifiez $- \frac{2 \ln (| - y + 2 |) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2}$ .

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Étape 3.8.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.8.1.1.1

Simplifiez $2 \ln (| - y + 2 |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$- \frac{\ln ({| - y + 2 |}^{2}) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Étape 3.8.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| - y + 2 |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$- \frac{\ln ({(- y + 2)}^{2}) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Étape 3.8.1.1.3

Simplifiez $3 \ln (| x^{2} + 1 |)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$- \frac{\ln ({(- y + 2)}^{2}) + \ln ({| x^{2} + 1 |}^{3})}{2} = C$

Étape 3.8.1.1.4

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$- \frac{\ln ({(- y + 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}{2} = C$

Étape 3.8.1.2

Réécrivez $\frac{\ln ({(- y + 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}{2}$ comme $\frac{1}{2} \ln ({(- y + 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})$ .

$- (\frac{1}{2} \ln ({(- y + 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})) = C$

Étape 3.8.1.3

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln ({(- y + 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$- \ln ({({(- y + 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Étape 3.8.1.4

Appliquez la règle de produit à ${(- y + 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3}$ .

$- \ln ({({(- y + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Étape 3.8.1.5

Multipliez les exposants dans ${({(- y + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.8.1.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \ln ({(- y + 2)}^{2 (\frac{1}{2})} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Étape 3.8.1.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.8.1.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \ln ({(- y + 2)}^{2 (\frac{1}{2})} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Étape 3.8.1.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$- \ln ({(- y + 2)}^{1} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Étape 3.8.1.6

Simplifiez

$- \ln ((- y + 2) {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Étape 3.8.1.7

Multipliez les exposants dans ${({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.8.1.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \ln ((- y + 2) {| x^{2} + 1 |}^{3 (\frac{1}{2})}) = C$

Étape 3.8.1.7.2

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \ln ((- y + 2) {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$

Étape 3.8.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$- \ln (- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$

Étape 3.9

Divisez chaque terme dans $- \ln (- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.9.1

Divisez chaque terme dans $- \ln (- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$ par $- 1$ .

$\frac{- \ln (- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})}{- 1} = \frac{C}{- 1}$

Étape 3.9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.9.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\ln (- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})}{1} = \frac{C}{- 1}$

Étape 3.9.2.2

Divisez $\ln (- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})$ par $1$ .

$\ln (- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = \frac{C}{- 1}$

Étape 3.9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.9.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = - 1 \cdot C$

Étape 3.9.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot C$ comme $- C$ .

$\ln (- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = - C$

Étape 3.10

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})} = e^{- C}$

Étape 3.11

Réécrivez $\ln (- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = - C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = - y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.12

Résolvez $y$ .

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Étape 3.12.1

Réécrivez l’équation comme $- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{- C}$ .

$- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{- C}$

Étape 3.12.2

Soustrayez $2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{- C} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.12.3

Divisez chaque terme dans $- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{- C} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ par $- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ et simplifiez.

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Étape 3.12.3.1

Divisez chaque terme dans $- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{- C} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ par $- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{- y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = \frac{e^{- C}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.12.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.12.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = \frac{e^{- C}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.12.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = \frac{e^{- C}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.12.3.2.3

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{e^{- C}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.12.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.12.3.3.1

Pour écrire $\frac{e^{- C}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{e^{- C}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.12.3.3.2

Pour écrire $\frac{- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{e^{- C}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.12.3.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.12.3.3.3.1

Multipliez $\frac{e^{- C}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$ par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot - 1} + \frac{- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.12.3.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1}{1 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.12.3.3.3.3

Multipliez ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ par $1$ .

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.12.3.3.3.4

Multipliez $\frac{- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$ par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot - 1}{- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot - 1}$

Étape 3.12.3.3.3.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot - 1}{1 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.12.3.3.3.6

Multipliez ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ par $1$ .

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot - 1}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.12.3.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1 - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot - 1}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.12.3.3.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.12.3.3.5.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- C}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot e^{- C} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot - 1}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.12.3.3.5.2

Réécrivez $- 1 e^{- C}$ comme $- e^{- C}$ .

$y = \frac{- e^{- C} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot - 1}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.12.3.3.5.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$y = \frac{- e^{- C} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.12.3.3.6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.12.3.3.6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{- e^{- C} - (- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.12.3.3.6.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- e^{- C} - (- 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})$ .

$y = \frac{- (e^{- C} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.12.3.3.6.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.12.3.3.6.3.1

Réécrivez $- (e^{- C} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})$ comme $- 1 (e^{- C} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})$ .

$y = \frac{- 1 (e^{- C} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.12.3.3.6.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{e^{- C} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = - \frac{C - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$