Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (x) \frac{d x}{d y} = \frac{x}{y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (\ln (x) \frac{d x}{d y}) = \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x} (\ln (x) \frac{d x}{d y}) = \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x} (\ln (x) \frac{d x}{d y}) = \frac{1}{y}$

Étape 1.3

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{1}{x} \ln (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1}{y}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{x} \ln (x) d x = \frac{1}{y} d y$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{x} \ln (x) d x = \int \frac{1}{y} d y$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $\ln (x)$ .

$\int \frac{\ln (x)}{x} d x = \int \frac{1}{y} d y$

Étape 2.2.2

Laissez $u = \ln (x)$ . Alors $d u = \frac{1}{x} d x$ , donc $x d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.2.1

Laissez $u = \ln (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Différenciez $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 2.2.2.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u d u = \int \frac{1}{y} d y$

Étape 2.2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

Étape 2.2.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

Étape 2.3

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (x) = \ln (| y |) + C$