Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x} i$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = \frac{\sqrt{x}}{x} i d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} i d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{x} i d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Associez $\frac{\sqrt{x}}{x}$ et $i$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x} i}{x} d x$

Étape 2.3.2

Comme $i$ est constant par rapport à $x$ , placez $i$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = i \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Étape 2.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = i \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.3.2.1

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$y + C_{1} = i \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Étape 2.3.3.2.2

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.3.2.2.1

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.3.3.2.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y + C_{1} = i \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Étape 2.3.3.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y + C_{1} = i \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Étape 2.3.3.2.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y + C_{1} = i \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Étape 2.3.3.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y + C_{1} = i \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Étape 2.3.3.2.2.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$y + C_{1} = i \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 2.3.3.3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.3.3.1

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$y + C_{1} = i \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 2.3.3.3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.3.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = i \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 2.3.3.3.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$y + C_{1} = i \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 2.3.3.3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + C_{1} = i \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 2.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = i (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.5.1

Réécrivez $i (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ comme $i \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = i \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.5.2

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$y + C_{1} = 2 i x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = 2 i x^{\frac{1}{2}} + K$