Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = - 6 x^{5} e^{- x^{6}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = - 6 x^{5} e^{- x^{6}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int - 6 x^{5} e^{- x^{6}} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int - 6 x^{5} e^{- x^{6}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 6$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - 6 \int x^{5} e^{- x^{6}} d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u_{1} = x^{2}$ . Alors $d u_{1} = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u_{1} = x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = - 6 \int {\sqrt{u_{1}}}^{4} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ comme ${u_{1}}^{2}$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{1}}$ comme ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - 6 \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.3.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.3.3.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{\frac{4}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.3.3.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 2.3.3.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.3.3.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.3.3.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.3.3.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{\frac{2}{1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.3.3.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{2} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.3.3.2

Réécrivez ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ comme ${u_{1}}^{3}$ .

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Étape 2.3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{1}}$ comme ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{2} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.3.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.3.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $6$ .

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{6}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.3.3.2.4

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 2.3.3.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.3.3.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.3.3.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.3.3.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{\frac{3}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.3.3.2.4.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$y + C_{1} = - 6 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.3.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et ${u_{1}}^{2}$ .

$y + C_{1} = - 6 \int \frac{{u_{1}}^{2}}{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Étape 2.3.3.4

Associez $\frac{{u_{1}}^{2}}{2}$ et $e^{- {u_{1}}^{3}}$ .

$y + C_{1} = - 6 \int \frac{{u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}}}{2} d u_{1}$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - 6 (\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 6$ .

$y + C_{1} = \frac{- 6}{2} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Étape 2.3.5.2

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $2$ .

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Étape 2.3.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 3}{2} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Étape 2.3.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Étape 2.3.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Étape 2.3.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = \frac{- 3}{1} \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Étape 2.3.5.2.2.4

Divisez $- 3$ par $1$ .

$y + C_{1} = - 3 \int {u_{1}}^{2} e^{- {u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Étape 2.3.6

Laissez $u_{2} = - {u_{1}}^{3}$ . Alors $d u_{2} = - 3 {u_{1}}^{2} d u_{1}$ , donc $- \frac{1}{3} d u_{2} = {u_{1}}^{2} d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.6.1

Laissez $u_{2} = - {u_{1}}^{3}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 2.3.6.1.1

Différenciez $- {u_{1}}^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{3}]$

Étape 2.3.6.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $- {u_{1}}^{3}$ par rapport à $u_{1}$ est $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}]$

Étape 2.3.6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- (3 {u_{1}}^{2})$

Étape 2.3.6.1.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 {u_{1}}^{2}$

Étape 2.3.6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = - 3 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 3} d u_{2}$

Étape 2.3.7

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + C_{1} = - 3 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{3}) d u_{2}$

Étape 2.3.7.2

Associez $e^{u_{2}}$ et $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = - 3 \int - \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Étape 2.3.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - 3 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2})$

Étape 2.3.9

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$y + C_{1} = 3 \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Étape 2.3.10

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Étape 2.3.11

Simplifiez

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Étape 2.3.11.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.11.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.11.2.1

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{3}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.11.2.2

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.11.3

Multipliez $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ par $1$ .

$y + C_{1} = \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.12

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$y + C_{1} = e^{u_{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.13

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 2.3.13.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- {u_{1}}^{3}$ .

$y + C_{1} = e^{- {u_{1}}^{3}} + C_{2}$

Étape 2.3.13.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$y + C_{1} = e^{- {(x^{2})}^{3}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = e^{- {(x^{2})}^{3}} + K$