Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = x^{3}$ , $y (- 1) = 2$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = x^{3} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int x^{3} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int x^{3} d x$

Étape 2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{1}{4} x^{4} + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $- 1$ et $y$ par $2$ dans $y = \frac{1}{4} x^{4} + K$ .

$2 = \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{4} \cdot {(- 1)}^{4} + K = 2$ .

$\frac{1}{4} \cdot {(- 1)}^{4} + K = 2$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1 + K = 2$

Étape 4.2.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$\frac{1}{4} + K = 2$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $\frac{1}{4}$ des deux côtés de l’équation.

$K = 2 - \frac{1}{4}$

Étape 4.3.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$K = 2 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Étape 4.3.3

Associez $2$ et $\frac{4}{4}$ .

$K = \frac{2 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}$

Étape 4.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$K = \frac{2 \cdot 4 - 1}{4}$

Étape 4.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.5.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$K = \frac{8 - 1}{4}$

Étape 4.3.5.2

Soustrayez $1$ de $8$ .

$K = \frac{7}{4}$

Étape 5

Remplacez $K$ par $\frac{7}{4}$ dans $y = \frac{1}{4} x^{4} + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $\frac{7}{4}$ .

$y = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{7}{4}$

Étape 5.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{7}{4}$