Calcul infinitésimal Exemples

$y \frac{d x}{d y} - x = 2 y^{2}$ , $y (1) = 5$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d x}{d y} + M (y) x = Q (y)$ .

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $y \frac{d x}{d y} - x = 2 y^{2}$ par $y$ .

$\frac{y \frac{d x}{d y}}{y} + \frac{- x}{y} = \frac{2 y^{2}}{y}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \frac{d x}{d y}}{y} + \frac{- x}{y} = \frac{2 y^{2}}{y}$

Étape 1.2.2

Divisez $\frac{d x}{d y}$ par $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- x}{y} = \frac{2 y^{2}}{y}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $y$ à partir de $2 y^{2}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- x}{y} = \frac{y (2 y)}{y}$

Étape 1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- x}{y} = \frac{y (2 y)}{y^{1}}$

Étape 1.3.2.2

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- x}{y} = \frac{y (2 y)}{y \cdot 1}$

Étape 1.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{d x}{d y} + \frac{- x}{y} = \frac{y (2 y)}{y \cdot 1}$

Étape 1.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{d x}{d y} + \frac{- x}{y} = \frac{2 y}{1}$

Étape 1.3.2.5

Divisez $2 y$ par $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- x}{y} = 2 y$

Étape 1.4

Factorisez $x$ à partir de $\frac{- x}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} + x \frac{- 1}{y} = 2 y$

Étape 1.5

Remettez dans l’ordre $x$ et $\frac{- 1}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 1}{y} x = 2 y$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (y) d y}$ , où $P (y) = \frac{- 1}{y}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{- 1}{y} d y}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{- 1}{y}$ .

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Étape 2.2.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Étape 2.2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Étape 2.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Étape 2.2.4

Simplifiez

$e^{- \ln (| y |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- \ln (y)}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (y^{- 1})}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$y^{- 1}$

Étape 2.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{y}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\frac{1}{y}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d x}{d y} + \frac{1}{y} (\frac{- 1}{y} x) = \frac{1}{y} (2 y)$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{y}$ et $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} + \frac{1}{y} (\frac{- 1}{y} x) = \frac{1}{y} (2 y)$

Étape 3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} + \frac{1}{y} (- \frac{1}{y} x) = \frac{1}{y} (2 y)$

Étape 3.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{1}{y} (\frac{1}{y} x) = \frac{1}{y} (2 y)$

Étape 3.2.4

Associez $\frac{1}{y}$ et $x$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{y} = \frac{1}{y} (2 y)$

Étape 3.2.5

Multipliez $- \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{y}$ .

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Étape 3.2.5.1

Multipliez $\frac{x}{y}$ par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y \cdot y} = \frac{1}{y} (2 y)$

Étape 3.2.5.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{1} y} = \frac{1}{y} (2 y)$

Étape 3.2.5.3

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{1} y^{1}} = \frac{1}{y} (2 y)$

Étape 3.2.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{1 + 1}} = \frac{1}{y} (2 y)$

Étape 3.2.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{2}} = \frac{1}{y} (2 y)$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{2}} = 2 \frac{1}{y} y$

Étape 3.4

Associez $2$ et $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{2}} = \frac{2}{y} y$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{2}} = \frac{2}{y} y$

Étape 3.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y} - \frac{x}{y^{2}} = 2$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y} x] = 2$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d y} [\frac{1}{y} x] d y = \int 2 d y$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$\frac{1}{y} x = \int 2 d y$

Étape 7

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{y} x = 2 y + C$

Étape 8

Résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{y}$ et $x$ .

$\frac{x}{y} = 2 y + C$

Étape 8.2

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$\frac{x}{y} y = (2 y + C) y$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.3.1.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 8.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{y} y = (2 y + C) y$

Étape 8.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = (2 y + C) y$

Étape 8.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.2.1

Simplifiez $(2 y + C) y$ .

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Étape 8.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = 2 y \cdot y + C y$

Étape 8.3.2.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.3.2.1.2.1

Déplacez $y$ .

$x = 2 (y \cdot y) + C y$

Étape 8.3.2.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$x = 2 y^{2} + C y$

Étape 8.3.2.1.3

Remettez dans l’ordre $2 y^{2}$ et $C y$ .

$x = C y + 2 y^{2}$

Étape 9

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $y$ par $1$ et $x$ par $5$ dans $x = C y + 2 y^{2}$ .

$5 = C \cdot 1 + 2 \cdot 1^{2}$

Étape 10

Résolvez $C$ .

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Étape 10.1

Réécrivez l’équation comme $C \cdot 1 + 2 \cdot 1^{2} = 5$ .

$C \cdot 1 + 2 \cdot 1^{2} = 5$

Étape 10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1

Multipliez $C$ par $1$ .

$C + 2 \cdot 1^{2} = 5$

Étape 10.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$C + 2 \cdot 1 = 5$

Étape 10.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$C + 2 = 5$

Étape 10.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.3.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$C = 5 - 2$

Étape 10.3.2

Soustrayez $2$ de $5$ .

$C = 3$

Étape 11

Remplacez $C$ par $3$ dans $x = C y + 2 y^{2}$ et simplifiez.

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Étape 11.1

Remplacez $C$ par $3$ .

$x = 3 y + 2 y^{2}$