Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 1 + 4 y^{2}$

Étape 1

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{1 + 4 y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + 4 y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 4 y^{2}} (1 + 4 y^{2})$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $1 + 4 y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1 + 4 y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 4 y^{2}} (1 + 4 y^{2})$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 + 4 y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{1 + 4 y^{2}} d y = 1 d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{1 + 4 y^{2}} d y = \int d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $1 + 4 y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $1$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4}) + 4 y^{2}} d y = \int d x$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $4$ à partir de $4 y^{2}$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4}) + 4 (y^{2})} d y = \int d x$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (\frac{1}{4}) + 4 (y^{2})$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4} + y^{2})} d y = \int d x$

Étape 2.2.2

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\frac{1}{4} + y^{2}} d y = \int d x$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{1}{4}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2} + y^{2}} d y = \int d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2} + y^{2}}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{\frac{1}{2}} \arctan (\frac{y}{\frac{1}{2}}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{\frac{1}{2}} \arctan (\frac{y}{\frac{1}{2}}) + C_{1}) = \int d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.1.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (1 \cdot 2 \arctan (\frac{y}{\frac{1}{2}}) + C_{1}) = \int d x$

Étape 2.2.5.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{4} (2 \arctan (\frac{y}{\frac{1}{2}}) + C_{1}) = \int d x$

Étape 2.2.5.1.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (2 \arctan (y \cdot 2) + C_{1}) = \int d x$

Étape 2.2.5.1.4

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$\frac{1}{4} (2 \arctan (2 y) + C_{1}) = \int d x$

Étape 2.2.5.2

Réécrivez $\frac{1}{4} (2 \arctan (2 y) + C_{1})$ comme $\frac{1}{4} \cdot 2 \arctan (2 y) + C_{1}$ .

$\frac{1}{4} \cdot 2 \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

Étape 2.2.5.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.3.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $2$ .

$\frac{2}{4} \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

Étape 2.2.5.3.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

Étape 2.2.5.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

Étape 2.2.5.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

Étape 2.2.5.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} \arctan (2 y) + C_{1} = x + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} \arctan (2 y) = x + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{2} \arctan (2 y) = x + K$ par $2$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{2} \arctan (2 y) = x + K$ par $2$ .

$\frac{1}{2} \arctan (2 y) \cdot 2 = x \cdot 2 + K \cdot 2$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\arctan (2 y)$ .

$\frac{\arctan (2 y)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + K \cdot 2$

Étape 3.1.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\arctan (2 y)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + K \cdot 2$

Étape 3.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\arctan (2 y) = x \cdot 2 + K \cdot 2$

Étape 3.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.3.1.1

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\arctan (2 y) = 2 \cdot x + K \cdot 2$

Étape 3.1.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $K$ .

$\arctan (2 y) = 2 x + 2 K$

Étape 3.2

Prenez l’arc tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de l’arc tangente.

$2 y = \tan (2 x + 2 K)$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $2 y = \tan (2 x + 2 K)$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $2 y = \tan (2 x + 2 K)$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\tan (2 x + 2 K)}{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\tan (2 x + 2 K)}{2}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\tan (2 x + 2 K)}{2}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\tan (2 x + K)}{2}$