Calcul infinitésimal Exemples

$(1 + x) \frac{d y}{d x} = 4 y$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $(1 + x) \frac{d y}{d x} = 4 y$ par $1 + x$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $(1 + x) \frac{d y}{d x} = 4 y$ par $1 + x$ .

$\frac{(1 + x) \frac{d y}{d x}}{1 + x} = \frac{4 y}{1 + x}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $1 + x$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(1 + x) \frac{d y}{d x}}{1 + x} = \frac{4 y}{1 + x}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1 + x}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{4 y}{1 + x}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $y$ à partir de $4 y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot 4}{1 + x}$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot 4}{1 + x}$

Étape 1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{1 + x}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = \frac{4}{1 + x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{4}{1 + x} d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{4}{1 + x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int \frac{1}{1 + x} d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u = 1 + x$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u = 1 + x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 2.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 2.3.2.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.3

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\ln (| u |) + C_{2})$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \ln (| u |) + C_{2}$

Étape 2.3.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \ln (| 1 + x |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = 4 \ln (| 1 + x |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y |) - 4 \ln (| 1 + x |) = C$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $\ln (| y |) - 4 \ln (| 1 + x |)$ .

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1.1

Simplifiez $- 4 \ln (| 1 + x |)$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$\ln (| y |) - \ln ({| 1 + x |}^{4}) = C$

Étape 3.2.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| 1 + x |}^{4}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\ln (| y |) - \ln ({(1 + x)}^{4}) = C$

Étape 3.2.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{(1 + x)}^{4}}) = C$

Étape 3.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{(1 + x)}^{4}})} = e^{C}$

Étape 3.4

Réécrivez $\ln (\frac{| y |}{{(1 + x)}^{4}}) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{(1 + x)}^{4}}$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| y |}{{(1 + x)}^{4}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{{(1 + x)}^{4}} = e^{C}$

Étape 3.5.2

Multipliez les deux côtés par ${(1 + x)}^{4}$ .

$\frac{| y |}{{(1 + x)}^{4}} {(1 + x)}^{4} = e^{C} {(1 + x)}^{4}$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.3.1

Annulez le facteur commun de ${(1 + x)}^{4}$ .

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Étape 3.5.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| y |}{{(1 + x)}^{4}} {(1 + x)}^{4} = e^{C} {(1 + x)}^{4}$

Étape 3.5.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$| y | = e^{C} {(1 + x)}^{4}$

Étape 3.5.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.4.1

Simplifiez $e^{C} {(1 + x)}^{4}$ .

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Étape 3.5.4.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$| y | = e^{C} (1^{4} + 4 \cdot 1^{3} x + 6 \cdot 1^{2} x^{2} + 4 \cdot 1 x^{3} + x^{4})$

Étape 3.5.4.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.5.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.4.1.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| y | = e^{C} (1 + 4 \cdot 1^{3} x + 6 \cdot 1^{2} x^{2} + 4 \cdot 1 x^{3} + x^{4})$

Étape 3.5.4.1.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| y | = e^{C} (1 + 4 \cdot 1 x + 6 \cdot 1^{2} x^{2} + 4 \cdot 1 x^{3} + x^{4})$

Étape 3.5.4.1.2.1.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$| y | = e^{C} (1 + 4 x + 6 \cdot 1^{2} x^{2} + 4 \cdot 1 x^{3} + x^{4})$

Étape 3.5.4.1.2.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| y | = e^{C} (1 + 4 x + 6 \cdot 1 x^{2} + 4 \cdot 1 x^{3} + x^{4})$

Étape 3.5.4.1.2.1.5

Multipliez $6$ par $1$ .

$| y | = e^{C} (1 + 4 x + 6 x^{2} + 4 \cdot 1 x^{3} + x^{4})$

Étape 3.5.4.1.2.1.6

Multipliez $4$ par $1$ .

$| y | = e^{C} (1 + 4 x + 6 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4})$

Étape 3.5.4.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$| y | = e^{C} \cdot 1 + e^{C} (4 x) + e^{C} (6 x^{2}) + e^{C} (4 x^{3}) + e^{C} x^{4}$

Étape 3.5.4.1.3

Simplifiez

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Étape 3.5.4.1.3.1

Multipliez $e^{C}$ par $1$ .

$| y | = e^{C} + e^{C} (4 x) + e^{C} (6 x^{2}) + e^{C} (4 x^{3}) + e^{C} x^{4}$

Étape 3.5.4.1.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$| y | = e^{C} + 4 e^{C} x + e^{C} (6 x^{2}) + e^{C} (4 x^{3}) + e^{C} x^{4}$

Étape 3.5.4.1.3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$| y | = e^{C} + 4 e^{C} x + 6 e^{C} x^{2} + e^{C} (4 x^{3}) + e^{C} x^{4}$

Étape 3.5.4.1.3.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$| y | = e^{C} + 4 e^{C} x + 6 e^{C} x^{2} + 4 e^{C} x^{3} + e^{C} x^{4}$

Étape 3.5.4.1.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{C} + 4 e^{C} x + 6 e^{C} x^{2} + 4 e^{C} x^{3} + e^{C} x^{4}$ .

$| y | = e^{C} + 4 x e^{C} + 6 x^{2} e^{C} + 4 x^{3} e^{C} + x^{4} e^{C}$

Étape 3.5.4.1.5

Déplacez $e^{C}$ .

$| y | = 4 x e^{C} + 6 x^{2} e^{C} + 4 x^{3} e^{C} + x^{4} e^{C} + e^{C}$

Étape 3.5.4.1.6

Déplacez $4 x e^{C}$ .

$| y | = 6 x^{2} e^{C} + 4 x^{3} e^{C} + x^{4} e^{C} + 4 x e^{C} + e^{C}$

Étape 3.5.4.1.7

Déplacez $6 x^{2} e^{C}$ .

$| y | = 4 x^{3} e^{C} + x^{4} e^{C} + 6 x^{2} e^{C} + 4 x e^{C} + e^{C}$

Étape 3.5.4.1.8

Remettez dans l’ordre $4 x^{3} e^{C}$ et $x^{4} e^{C}$ .

$| y | = x^{4} e^{C} + 4 x^{3} e^{C} + 6 x^{2} e^{C} + 4 x e^{C} + e^{C}$

Étape 3.5.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm (x^{4} e^{C} + 4 x^{3} e^{C} + 6 x^{2} e^{C} + 4 x e^{C} + e^{C})$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm (x^{4} C + 4 x^{3} C + 6 x^{2} C + 4 x C + C)$