Calcul infinitésimal Exemples

$x y^{2} d x - x^{2} y^{2} d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $x y^{2} d x$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} y^{2} d y = - x y^{2} d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x^{2} y^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2} y^{2}} (- x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{2}} (- x y^{2}) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{1}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{2}} (- x y^{2}) d x$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $x^{2} y^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x^{2} y^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{2}} (- x y^{2}) d x$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{2}} (- x y^{2}) d x$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 d y = \frac{1}{x^{2} y^{2}} (- x y^{2}) d x$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 1 d y = - \frac{1}{x^{2} y^{2}} (x y^{2}) d x$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $x y^{2}$ .

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Étape 3.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x^{2} y^{2}}$ dans le numérateur.

$- 1 d y = \frac{- 1}{x^{2} y^{2}} (x y^{2}) d x$

Étape 3.4.2

Factorisez $x y^{2}$ à partir de $x^{2} y^{2}$ .

$- 1 d y = \frac{- 1}{x y^{2} (x)} (x y^{2}) d x$

Étape 3.4.3

Annulez le facteur commun.

$- 1 d y = \frac{- 1}{x y^{2} x} (x y^{2}) d x$

Étape 3.4.4

Réécrivez l’expression.

$- 1 d y = \frac{- 1}{x} d x$

Étape 3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 1 d y = - \frac{1}{x} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int - 1 d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2

Appliquez la règle de la constante.

$- y + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- y + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- y + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Étape 4.3.3

Simplifiez

$- y + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- y = - \ln (| x |) + C$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $- y = - \ln (| x |) + C$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $- y = - \ln (| x |) + C$ par $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y}{1} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 5.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = \frac{\ln (| x |)}{1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 5.3.1.2

Divisez $\ln (| x |)$ par $1$ .

$y = \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Étape 5.3.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{C}{- 1}$ .

$y = \ln (| x |) - 1 \cdot C$

Étape 5.3.1.4

Réécrivez $- 1 \cdot C$ comme $- C$ .

$y = \ln (| x |) - C$

Étape 6

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \ln (| x |) + C$