Calcul infinitésimal Exemples

$(6 x y - y^{3}) d x + (4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 6 x y - y^{3}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x y - y^{3}]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x y - y^{3}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [6 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [6 x y]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $6 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $6 x y$ par rapport à $y$ est $6 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Étape 1.3.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [- y^{3}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y^{3}$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x - \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x - (3 y^{2})$

Étape 1.4.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x - 3 y^{2}$

Étape 1.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3 y^{2} + 6 x$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Étape 2.2.2

Comme $4 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 6 x + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 3 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x y^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 6 x - 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 6 x - 3 y^{2} \cdot 1$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 6 x - 3 y^{2}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Additionnez $0$ et $6 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x - 3 y^{2}$

Étape 2.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 y^{2} + 6 x$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 3 y^{2} + 6 x$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 3 y^{2} + 6 x$ .

$- 3 y^{2} + 6 x = - 3 y^{2} + 6 x$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$- 3 y^{2} + 6 x = - 3 y^{2} + 6 x$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 6 x y - y^{3} d x$

Étape 5

Intégrez $M (x, y) = 6 x y - y^{3}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int 6 x y d x + \int - y^{3} d x$

Étape 5.2

Comme $6 y$ est constant par rapport à $x$ , placez $6 y$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 6 y \int x d x + \int - y^{3} d x$

Étape 5.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 6 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - y^{3} d x$

Étape 5.4

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = 6 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - y^{3} x + C$

Étape 5.5

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = 6 y (\frac{x^{2}}{2} + C) - y^{3} x + C$

Étape 5.6

Simplifiez

$f (x, y) = 3 y x^{2} - y^{3} x + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = 3 y x^{2} - y^{3} x + g (y)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [3 y x^{2} - y^{3} x + g (y)] = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 y x^{2} - y^{3} x + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [3 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [3 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [3 y x^{2}]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $3 x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 y x^{2}$ par rapport à $y$ est $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$

Étape 8.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$

Étape 8.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d y} [- y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$

Étape 8.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [- y^{3} x]$ .

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Étape 8.4.1

Comme $- x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y^{3} x$ par rapport à $y$ est $- x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$3 x^{2} - x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$

Étape 8.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} - x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$

Étape 8.4.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$3 x^{2} - 3 x y^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$

Étape 8.5

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x^{2} - 3 x y^{2} + \frac{d g}{d y} = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$

Étape 8.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} - 3 y^{2} x = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2}$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Soustrayez $3 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} - 3 y^{2} x = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2} - 3 x^{2}$

Étape 9.1.2

Ajoutez $3 y^{2} x$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = 4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2} - 3 x^{2} + 3 y^{2} x$

Étape 9.1.3

Associez les termes opposés dans $4 y + 3 x^{2} - 3 x y^{2} - 3 x^{2} + 3 y^{2} x$ .

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Étape 9.1.3.1

Soustrayez $3 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y - 3 x y^{2} + 0 + 3 y^{2} x$

Étape 9.1.3.2

Additionnez $4 y - 3 x y^{2}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y - 3 x y^{2} + 3 y^{2} x$

Étape 9.1.3.3

Réorganisez les facteurs dans les termes $- 3 x y^{2}$ et $3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y - 3 y^{2} x + 3 y^{2} x$

Étape 9.1.3.4

Additionnez $- 3 y^{2} x$ et $3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y + 0$

Étape 9.1.3.5

Additionnez $4 y$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y$

Étape 10

Déterminez la primitive de $4 y$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = 4 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 4 y d y$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 4 y d y$

Étape 10.3

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = 4 \int y d y$

Étape 10.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Étape 10.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.5.1

Réécrivez $4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ comme $4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Étape 10.5.2

Simplifiez

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Étape 10.5.2.1

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{4}{2} y^{2} + C$

Étape 10.5.2.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 10.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2} y^{2} + C$

Étape 10.5.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.5.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} y^{2} + C$

Étape 10.5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Étape 10.5.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$g (y) = \frac{2}{1} y^{2} + C$

Étape 10.5.2.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$g (y) = 2 y^{2} + C$

Étape 11

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = 3 y x^{2} - y^{3} x + g (y)$ .

$f (x, y) = 3 y x^{2} - y^{3} x + 2 y^{2} + C$