Calcul infinitésimal Exemples

$(- 2 y^{3} + 1) d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = - 2 y^{3} + 1$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- 2 y^{3} + 1]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 y^{3} + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [- 2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- 2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- 2 y^{3}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2 y^{3}$ par rapport à $y$ est $- 2 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 1.3.3

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6 y^{2} + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6 y^{2} + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $- 6 y^{2}$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6 y^{2}$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 3 x y^{2} + x^{3}$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y^{2} + x^{3}]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x y^{2} + x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x y^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $3 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x y^{2}$ par rapport à $x$ est $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} + 3 x^{2}$

Étape 2.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 3 y^{2}$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 6 y^{2}$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $3 x^{2} + 3 y^{2}$ .

$- 6 y^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2}$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$- 6 y^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2}$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 6 y^{2}$ .

$\frac{- 6 y^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $3 x^{2} + 3 y^{2}$ .

$\frac{- 6 y^{2} - (3 x^{2} + 3 y^{2})}{N}$

Étape 4.3

Remplacez $N$ par $3 x y^{2} + x^{3}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $N$ par $3 x y^{2} + x^{3}$ .

$\frac{- 6 y^{2} - (3 x^{2} + 3 y^{2})}{3 x y^{2} + x^{3}}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 6 y^{2} - (3 x^{2}) - (3 y^{2})}{3 x y^{2} + x^{3}}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{- 6 y^{2} - 3 x^{2} - (3 y^{2})}{3 x y^{2} + x^{3}}$

Étape 4.3.2.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{- 6 y^{2} - 3 x^{2} - 3 y^{2}}{3 x y^{2} + x^{3}}$

Étape 4.3.2.4

Soustrayez $3 y^{2}$ de $- 6 y^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 9 y^{2}}{3 x y^{2} + x^{3}}$

Étape 4.3.2.5

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x^{2} - 9 y^{2}$ .

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Étape 4.3.2.5.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2}) - 9 y^{2}}{3 x y^{2} + x^{3}}$

Étape 4.3.2.5.2

Factorisez $3$ à partir de $- 9 y^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (- 3 y^{2})}{3 x y^{2} + x^{3}}$

Étape 4.3.2.5.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (- x^{2}) + 3 (- 3 y^{2})$ .

$\frac{3 (- x^{2} - 3 y^{2})}{3 x y^{2} + x^{3}}$

Étape 4.3.3

Factorisez $x$ à partir de $3 x y^{2} + x^{3}$ .

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Étape 4.3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x y^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2} - 3 y^{2})}{x (3 y^{2}) + x^{3}}$

Étape 4.3.3.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{3 (- x^{2} - 3 y^{2})}{x (3 y^{2}) + x \cdot x^{2}}$

Étape 4.3.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x (3 y^{2}) + x \cdot x^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2} - 3 y^{2})}{x (3 y^{2} + x^{2})}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun à $- x^{2} - 3 y^{2}$ et $3 y^{2} + x^{2}$ .

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Étape 4.3.4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{3 (- (x^{2}) - 3 y^{2})}{x (3 y^{2} + x^{2})}$

Étape 4.3.4.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 y^{2}$ .

$\frac{3 (- (x^{2}) - (3 y^{2}))}{x (3 y^{2} + x^{2})}$

Étape 4.3.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (3 y^{2})$ .

$\frac{3 (- (x^{2} + 3 y^{2}))}{x (3 y^{2} + x^{2})}$

Étape 4.3.4.4

Réécrivez $- (x^{2} + 3 y^{2})$ comme $- 1 (x^{2} + 3 y^{2})$ .

$\frac{3 (- 1 (x^{2} + 3 y^{2}))}{x (3 y^{2} + x^{2})}$

Étape 4.3.4.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3 (- 1 (x^{2} + 3 y^{2}))}{x (x^{2} + 3 y^{2})}$

Étape 4.3.4.6

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (- 1 (x^{2} + 3 y^{2}))}{x (x^{2} + 3 y^{2})}$

Étape 4.3.4.7

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{x}$

Étape 4.3.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{- 3}{x}$

Étape 4.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{x}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{3}{x} d x}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Étape 5.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Étape 5.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 5.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 5.5

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| x |)} + C$

Étape 5.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.1

Simplifiez $- 3 \ln (| x |)$ en déplaçant $- 3$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 3})} + C$

Étape 5.6.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 3} + C$

Étape 5.6.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{3}} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(- 2 y^{3} + 1) d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{x^{3}}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $- 2 y^{3} + 1$ par $\frac{1}{x^{3}}$ .

$(- 2 y^{3} + 1) \frac{1}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

Étape 6.2

Multipliez $- 2 y^{3} + 1$ par $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 2 y^{3} + 1}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

Étape 6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 y^{3}$ .

$\frac{- (2 y^{3}) + 1}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

Étape 6.4

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 y^{3}) - 1 (- 1)}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

Étape 6.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 y^{3}) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 y^{3} - 1)}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

Étape 6.6

Réécrivez $- (2 y^{3} - 1)$ comme $- 1 (2 y^{3} - 1)$ .

$\frac{- 1 (2 y^{3} - 1)}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

Étape 6.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

Étape 6.8

Multipliez $3 x y^{2} + x^{3}$ par $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Étape 6.9

Multipliez $3 x y^{2} + x^{3}$ par $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{3 x y^{2} + x^{3}}{x^{3}} d y = 0$

Étape 6.10

Factorisez $x$ à partir de $3 x y^{2} + x^{3}$ .

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Étape 6.10.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x y^{2}$ .

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{x (3 y^{2}) + x^{3}}{x^{3}} d y = 0$

Étape 6.10.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{x (3 y^{2}) + x \cdot x^{2}}{x^{3}} d y = 0$

Étape 6.10.3

Factorisez $x$ à partir de $x (3 y^{2}) + x \cdot x^{2}$ .

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{x (3 y^{2} + x^{2})}{x^{3}} d y = 0$

Étape 6.11

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.11.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{x (3 y^{2} + x^{2})}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Étape 6.11.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{x (3 y^{2} + x^{2})}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Étape 6.11.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{3 y^{2} + x^{2}}{x^{2}} d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{3 y^{2} + x^{2}}{x^{2}} d y$

Étape 8

Intégrez $N (x, y) = \frac{3 y^{2} + x^{2}}{x^{2}}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Comme $\frac{1}{x^{2}}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{x^{2}}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} \int 3 y^{2} + x^{2} d y$

Étape 8.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (\int 3 y^{2} d y + \int x^{2} d y)$

Étape 8.3

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (3 \int y^{2} d y + \int x^{2} d y)$

Étape 8.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int x^{2} d y)$

Étape 8.5

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + x^{2} y + C)$

Étape 8.6

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (3 (\frac{y^{3}}{3} + C) + x^{2} y + C)$

Étape 8.7

Simplifiez

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) + g (x)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) + g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y)]$ .

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Étape 11.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ et $g (x) = y^{3} + x^{2} y$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [y^{3} + x^{2} y] + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{3} + x^{2} y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$\frac{1}{x^{2}} (\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]) + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.3.3

Comme $y^{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y^{3}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2} y]) + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.3.4

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x^{2} y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.3.6

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.3.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 11.3.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.3.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.3.9

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$\frac{1}{x^{2}} (0 + 2 \cdot y x) + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.3.10

Additionnez $0$ et $2 y x$ .

$\frac{1}{x^{2}} (2 y x) + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.3.11

Associez $2$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{x^{2}} (y x) + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.3.12

Associez $y$ et $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{y \cdot 2}{x^{2}} x + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.3.13

Associez $\frac{y \cdot 2}{x^{2}}$ et $x$ .

$\frac{y \cdot 2 x}{x^{2}} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.3.14

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$\frac{2 \cdot y x}{x^{2}} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.3.15

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.15.1

Factorisez $x$ à partir de $2 y x$ .

$\frac{x (2 y)}{x^{2}} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.3.15.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.3.15.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x (2 y)}{x \cdot x} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.3.15.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (2 y)}{x \cdot x} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.3.15.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.3.16

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 11.3.16.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.3.16.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.3.17

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.3.18

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.3.19

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.3.20

Soustrayez $4$ de $1$ .

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.3.21

Pour écrire $(y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 3})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 y}{x} + \frac{(y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 3}) x}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.3.22

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 3}) x}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.3.23

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 (x^{1} x^{- 3}))}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.3.24

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{1 - 3})}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.3.25

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 2})}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 2})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.5

Simplifiez

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Étape 11.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 y + y^{3} (- 2 \frac{1}{x^{2}}) + x^{2} y (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.5.3

Associez des termes.

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Étape 11.5.3.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2 y + y^{3} \frac{- 2}{x^{2}} + x^{2} y (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.5.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2 y + y^{3} (- \frac{2}{x^{2}}) + x^{2} y (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.5.3.3

Associez $y^{3}$ et $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{2 y - \frac{y^{3} \cdot 2}{x^{2}} + x^{2} y (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.5.3.4

Déplacez $2$ à gauche de $y^{3}$ .

$\frac{2 y - \frac{2 \cdot y^{3}}{x^{2}} + x^{2} y (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.5.3.5

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} + x^{2} y \frac{- 2}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.5.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} + x^{2} y (- \frac{2}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.5.3.7

Associez $x^{2}$ et $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} + y (- \frac{x^{2} \cdot 2}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.5.3.8

Associez $y$ et $\frac{x^{2} \cdot 2}{x^{2}}$ .

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - \frac{y (x^{2} \cdot 2)}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.5.3.9

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - \frac{y (2 \cdot x^{2})}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.5.3.10

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - \frac{2 \cdot y x^{2}}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.5.3.11

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 11.5.3.11.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - \frac{2 y x^{2}}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.5.3.11.2

Divisez $2 y$ par $1$ .

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - (2 y)}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.5.3.12

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - 2 y}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.5.3.13

Soustrayez $2 y$ de $2 y$ .

$\frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{2}} + 0}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.5.3.14

Additionnez $- \frac{2 y^{3}}{x^{2}}$ et $0$ .

$\frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.5.3.15

Réécrivez $\frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{2}}}{x}$ comme un produit.

$- \frac{2 y^{3}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.5.3.16

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{2 y^{3}}{x^{2}}$ .

$- \frac{2 y^{3}}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.5.3.17

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.5.3.17.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 11.5.3.17.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2 y^{3}}{x^{1} x^{2}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.5.3.17.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2 y^{3}}{x^{1 + 2}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.5.3.17.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{2 y^{3}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 11.5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y^{3}}{x^{3}} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 12.1.1.1

Ajoutez $\frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y^{3}}{x^{3}} + \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} = 0$

Étape 12.1.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y^{3} + 2 y^{3} - 1}{x^{3}} = 0$

Étape 12.1.1.3

Additionnez $- 2 y^{3}$ et $2 y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{0 - 1}{x^{3}} = 0$

Étape 12.1.1.4

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{3}} = 0$

Étape 12.1.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{x^{3}} = 0$

Étape 12.1.2

Ajoutez $\frac{1}{x^{3}}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{3}}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $\frac{1}{x^{3}}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{3}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 13.3

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$g (x) = \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Étape 13.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 13.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Étape 13.4.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$g (x) = \int x^{- 3} d x$

Étape 13.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$

Étape 13.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.6.1

Réécrivez $- \frac{1}{2} x^{- 2} + C$ comme $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$

Étape 13.6.2

Simplifiez

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Étape 13.6.2.1

Multipliez $\frac{1}{x^{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = - \frac{1}{x^{2} \cdot 2} + C$

Étape 13.6.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$g (x) = - \frac{1}{2 \cdot x^{2}} + C$

Étape 13.6.2.3

Multipliez $2$ par $x^{2}$ .

$g (x) = - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Étape 14

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Étape 15

Simplifiez $f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) - \frac{1}{2 x^{2}} + C$ .

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Étape 15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1.1

Multipliez $\frac{1}{x^{2}}$ par $y^{3} + x^{2} y$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3} + x^{2} y}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Étape 15.1.2

Factorisez $y$ à partir de $y^{3} + x^{2} y$ .

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Étape 15.1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y \cdot y^{2} + x^{2} y}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Étape 15.1.2.2

Factorisez $y$ à partir de $x^{2} y$ .

$f (x, y) = \frac{y \cdot y^{2} + y x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Étape 15.1.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot y^{2} + y x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y (y^{2} + x^{2})}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Étape 15.2

Pour écrire $\frac{y (y^{2} + x^{2})}{x^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y (y^{2} + x^{2})}{x^{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Étape 15.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $2 x^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 15.3.1

Multipliez $\frac{y (y^{2} + x^{2})}{x^{2}}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y (y^{2} + x^{2}) \cdot 2}{x^{2} \cdot 2} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Étape 15.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y (y^{2} + x^{2}) \cdot 2}{2 x^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Étape 15.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (x, y) = \frac{y (y^{2} + x^{2}) \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

Étape 15.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = \frac{(y \cdot y^{2} + y x^{2}) \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

Étape 15.5.2

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 15.5.2.1

Multipliez $y$ par $y^{2}$ .

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Étape 15.5.2.1.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$f (x, y) = \frac{(y^{1} y^{2} + y x^{2}) \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

Étape 15.5.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x, y) = \frac{(y^{1 + 2} + y x^{2}) \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

Étape 15.5.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (x, y) = \frac{(y^{3} + y x^{2}) \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

Étape 15.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = \frac{y^{3} \cdot 2 + y x^{2} \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

Étape 15.5.4

Déplacez $2$ à gauche de $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot y^{3} + y x^{2} \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

Étape 15.5.5

Déplacez $2$ à gauche de $y x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot y^{3} + 2 \cdot (y x^{2}) - 1}{2 x^{2}} + C$

Étape 15.5.6

Supprimez les parenthèses.

$f (x, y) = \frac{2 y^{3} + 2 y x^{2} - 1}{2 x^{2}} + C$