Calcul infinitésimal Exemples

$x d y + (2 y - 10 x^{2}) d x = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de l’équation différentielle exacte.

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Étape 1.1

Réécrivez.

$(2 y - 10 x^{2}) d x + x d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 2 y - 10 x^{2}$ .

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Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y - 10 x^{2}]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 y - 10 x^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 10 x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 10 x^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 10 x^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 10 x^{2}]$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + \frac{d}{d y} [- 10 x^{2}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- 10 x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 10 x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x$ .

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Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $1$ .

$2 = 1$

Étape 4.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$2 = 1$ n’est pas une identité.

Étape 5

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 5.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2$ .

$\frac{2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 5.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $1$ .

$\frac{2 - 1}{N}$

Étape 5.3

Remplacez $N$ par $x$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez $N$ par $x$ .

$\frac{2 - 1}{x}$

Étape 5.3.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 5.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Étape 6

Évaluez l’intégrale $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

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Étape 6.1

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Étape 6.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.2.1

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Étape 6.2.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = | x | + C$

Étape 7

Multipliez les deux côtés de $(2 y - 10 x^{2}) d x + x d y = 0$ par le facteur d’intégration $x$ .

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Étape 7.1

Multipliez $2 y - 10 x^{2}$ par $x$ .

$(2 y - 10 x^{2}) x d x + x d y = 0$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$(2 y x - 10 x^{2} x) d x + x d y = 0$

Étape 7.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.3.1

Déplacez $x$ .

$(2 y x - 10 (x \cdot x^{2})) d x + x d y = 0$

Étape 7.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 7.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(2 y x - 10 (x^{1} x^{2})) d x + x d y = 0$

Étape 7.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(2 y x - 10 x^{1 + 2}) d x + x d y = 0$

Étape 7.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$(2 y x - 10 x^{3}) d x + x d y = 0$

Étape 7.4

Multipliez $x$ par $x$ .

$(2 y x - 10 x^{3}) d x + x \cdot x d y = 0$

Étape 7.5

Multipliez $x$ par $x$ .

$(2 y x - 10 x^{3}) d x + x^{2} d y = 0$

Étape 8

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} d y$

Étape 9

Intégrez $N (x, y) = x^{2}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 9.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = x^{2} y + C$

Étape 10

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + g (x)$

Étape 11

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y x - 10 x^{3}$

Étape 12

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 12.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y + g (x)] = 2 y x - 10 x^{3}$

Étape 12.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} y + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x - 10 x^{3}$

Étape 12.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Étape 12.3.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x^{2} y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x - 10 x^{3}$

Étape 12.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$y (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x - 10 x^{3}$

Étape 12.3.3

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$2 y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x - 10 x^{3}$

Étape 12.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y x + \frac{d g}{d x} = 2 y x - 10 x^{3}$

Étape 12.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y = 2 y x - 10 x^{3}$

Étape 13

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 13.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 13.1.1

Soustrayez $2 x y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = 2 y x - 10 x^{3} - 2 x y$

Étape 13.1.2

Associez les termes opposés dans $2 y x - 10 x^{3} - 2 x y$ .

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Étape 13.1.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $2 y x$ et $- 2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x y - 10 x^{3} - 2 x y$

Étape 13.1.2.2

Soustrayez $2 x y$ de $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = - 10 x^{3} + 0$

Étape 13.1.2.3

Additionnez $- 10 x^{3}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 10 x^{3}$

Étape 14

Déterminez la primitive de $- 10 x^{3}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 14.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = - 10 x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - 10 x^{3} d x$

Étape 14.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - 10 x^{3} d x$

Étape 14.3

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 10$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = - 10 \int x^{3} d x$

Étape 14.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = - 10 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Étape 14.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 14.5.1

Réécrivez $- 10 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ comme $- 10 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ .

$g (x) = - 10 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Étape 14.5.2

Simplifiez

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Étape 14.5.2.1

Associez $- 10$ et $\frac{1}{4}$ .

$g (x) = \frac{- 10}{4} x^{4} + C$

Étape 14.5.2.2

Annulez le facteur commun à $- 10$ et $4$ .

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Étape 14.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 10$ .

$g (x) = \frac{2 (- 5)}{4} x^{4} + C$

Étape 14.5.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.5.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

Étape 14.5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$g (x) = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

Étape 14.5.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$g (x) = \frac{- 5}{2} x^{4} + C$

Étape 14.5.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$g (x) = - \frac{5}{2} x^{4} + C$

Étape 15

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = x^{2} y + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y - \frac{5}{2} x^{4} + C$

Étape 16

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.1

Associez $x^{4}$ et $\frac{5}{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} y - \frac{x^{4} \cdot 5}{2} + C$

Étape 16.2

Déplacez $5$ à gauche de $x^{4}$ .

$f (x, y) = x^{2} y - \frac{5 x^{4}}{2} + C$