Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x} = x$

Étape 1

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x} = x$ par $\sqrt{1 - 4 x^{2}}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x} = x$ par $\sqrt{1 - 4 x^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} = \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $\sqrt{1 - 4 x^{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} = \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$

Étape 1.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1^{2} - 4 x^{2}}}$

Étape 1.1.3.1.2

Réécrivez $4 x^{2}$ comme ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}}$

Étape 1.1.3.1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = 2 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - (2 x))}}$

Étape 1.1.3.1.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

Étape 1.1.3.2

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ par $\frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

Étape 1.1.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ par $\frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

Étape 1.1.3.3.2

Élevez $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

Étape 1.1.3.3.3

Élevez $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1} {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1}}$

Étape 1.1.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1 + 1}}$

Étape 1.1.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{2}}$

Étape 1.1.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{2}$ comme $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ comme ${((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{({((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.1.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.1.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.1.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{1}}$

Étape 1.1.3.3.6.5

Simplifiez

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$

Étape 1.2

Réécrivez l’équation.

$d y = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Laissez $u = (1 + 2 x) (1 - 2 x)$ . Alors $d u = - 8 x d x$ , donc $- \frac{1}{8} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Laissez $u = (1 + 2 x) (1 - 2 x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [(1 + 2 x) (1 - 2 x)]$

Étape 2.3.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 1 + 2 x$ et $g (x) = 1 - 2 x$ .

$(1 + 2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x] + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Étape 2.3.1.1.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(1 + 2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Étape 2.3.1.1.3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(1 + 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Étape 2.3.1.1.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(1 + 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x] + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Étape 2.3.1.1.3.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Étape 2.3.1.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(1 + 2 x) (- 2 \cdot 1) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Étape 2.3.1.1.3.6

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1.3.6.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$(1 + 2 x) \cdot - 2 + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Étape 2.3.1.1.3.6.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $1 + 2 x$ .

$- 2 \cdot (1 + 2 x) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Étape 2.3.1.1.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$- 2 (1 + 2 x) + (1 - 2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.3.1.1.3.8

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 2 (1 + 2 x) + (1 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.3.1.1.3.9

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$- 2 (1 + 2 x) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.3.1.1.3.10

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (1 + 2 x) + (1 - 2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.1.1.3.11

Déplacez $2$ à gauche de $1 - 2 x$ .

$- 2 (1 + 2 x) + 2 \cdot (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.1.1.3.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 (1 + 2 x) + 2 (1 - 2 x) \cdot 1$

Étape 2.3.1.1.3.13

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 2 (1 + 2 x) + 2 (1 - 2 x)$

Étape 2.3.1.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 \cdot 1 - 2 (2 x) + 2 (1 - 2 x)$

Étape 2.3.1.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 \cdot 1 - 2 (2 x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 x)$

Étape 2.3.1.1.4.3

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1.4.3.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 - 2 (2 x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 x)$

Étape 2.3.1.1.4.3.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- 2 - 4 x + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 x)$

Étape 2.3.1.1.4.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 2 - 4 x + 2 + 2 (- 2 x)$

Étape 2.3.1.1.4.3.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$- 2 - 4 x + 2 - 4 x$

Étape 2.3.1.1.4.3.5

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$- 4 x + 0 - 4 x$

Étape 2.3.1.1.4.3.6

Additionnez $- 4 x$ et $0$ .

$- 4 x - 4 x$

Étape 2.3.1.1.4.3.7

Soustrayez $4 x$ de $- 4 x$ .

$- 8 x$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{- 8} d u$

Étape 2.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{u} (- \frac{1}{8}) d u$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $\frac{\sqrt{u}}{u}$ par $\frac{1}{8}$ .

$y + C_{1} = \int - \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 8} d u$

Étape 2.3.2.3

Déplacez $8$ à gauche de $u$ .

$y + C_{1} = \int - \frac{\sqrt{u}}{8 u} d u$

Étape 2.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{8 u} d u$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{8} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u)$

Étape 2.3.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.2.1

Placez $u^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Étape 2.3.5.2.2

Multipliez $u$ par $u^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.2.2.1

Multipliez $u$ par $u^{- \frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.2.2.1.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Étape 2.3.5.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

Étape 2.3.5.2.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

Étape 2.3.5.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

Étape 2.3.5.2.2.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 2.3.5.3

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.3.1

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 2.3.5.3.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 2.3.5.3.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 2.3.5.3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 2.3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Étape 2.3.7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.7.1

Réécrivez $- \frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ comme $- \frac{1}{8} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.7.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{8}) u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{8}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 2}{8} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.3

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.7.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 (- 1)}{8} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.7.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = \frac{- 1}{4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + C_{1} = - \frac{1}{4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{4} {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = - \frac{1}{4} {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}} + K$