Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d s}{d t} + \frac{s}{t} = \cos (t) + \frac{\sin (t)}{t}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d s}{d t} + M (t) s = Q (t)$ .

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Étape 1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d s}{d t} + \frac{s}{t} = \frac{\sin (t)}{t} + \cos (t)$

Étape 1.2

Factorisez $s$ à partir de $\frac{s}{t}$ .

$\frac{d s}{d t} + s \frac{1}{t} = \frac{\sin (t)}{t} + \cos (t)$

Étape 1.3

Remettez dans l’ordre $s$ et $\frac{1}{t}$ .

$\frac{d s}{d t} + \frac{1}{t} s = \frac{\sin (t)}{t} + \cos (t)$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (t) d t}$ , où $P (t) = \frac{1}{t}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{1}{t} d t}$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{t}$ par rapport à $t$ est $\ln (| t |)$ .

$e^{\ln (| t |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{\ln (t)}$

Étape 2.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$t$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $t$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $t$ .

$t \frac{d s}{d t} + t (\frac{1}{t} s) = t \frac{\sin (t)}{t} + t \cos (t)$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{t}$ et $s$ .

$t \frac{d s}{d t} + t \frac{s}{t} = t \frac{\sin (t)}{t} + t \cos (t)$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$t \frac{d s}{d t} + t \frac{s}{t} = t \frac{\sin (t)}{t} + t \cos (t)$

Étape 3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$t \frac{d s}{d t} + s = t \frac{\sin (t)}{t} + t \cos (t)$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun.

$t \frac{d s}{d t} + s = t \frac{\sin (t)}{t} + t \cos (t)$

Étape 3.3.2

Réécrivez l’expression.

$t \frac{d s}{d t} + s = \sin (t) + t \cos (t)$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d t} [t s] = \sin (t) + t \cos (t)$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d t} [t s] d t = \int \sin (t) + t \cos (t) d t$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$t s = \int \sin (t) + t \cos (t) d t$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$t s = \int \sin (t) d t + \int t \cos (t) d t$

Étape 7.2

L’intégrale de $\sin (t)$ par rapport à $t$ est $- \cos (t)$ .

$t s = - \cos (t) + C + \int t \cos (t) d t$

Étape 7.3

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = t$ et $d v = \cos (t)$ .

$t s = - \cos (t) + C + t \sin (t) - \int \sin (t) d t$

Étape 7.4

L’intégrale de $\sin (t)$ par rapport à $t$ est $- \cos (t)$ .

$t s = - \cos (t) + C + t \sin (t) - (- \cos (t) + C)$

Étape 7.5

Simplifiez

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Étape 7.5.1

Simplifiez

$t s = - \cos (t) + t \sin (t) + \cos (t) + C$

Étape 7.5.2

Simplifiez

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Étape 7.5.2.1

Additionnez $- \cos (t)$ et $\cos (t)$ .

$t s = t \sin (t) + 0 + C$

Étape 7.5.2.2

Additionnez $t \sin (t)$ et $0$ .

$t s = t \sin (t) + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $t s = t \sin (t) + C$ par $t$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $t s = t \sin (t) + C$ par $t$ .

$\frac{t s}{t} = \frac{t \sin (t)}{t} + \frac{C}{t}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{t s}{t} = \frac{t \sin (t)}{t} + \frac{C}{t}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $s$ par $1$ .

$s = \frac{t \sin (t)}{t} + \frac{C}{t}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Étape 8.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$s = \frac{t \sin (t)}{t} + \frac{C}{t}$

Étape 8.3.1.2

Divisez $\sin (t)$ par $1$ .

$s = \sin (t) + \frac{C}{t}$