Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x) + \sin (x)}{2 y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\cos (x) + \sin (x)}{2 y}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $2 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\cos (x) + \sin (x)}{y \cdot 2}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\cos (x) + \sin (x)}{y \cdot 2}$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x) + \sin (x)}{2}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$y d y = \frac{\cos (x) + \sin (x)}{2} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int \frac{\cos (x) + \sin (x)}{2} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{\cos (x) + \sin (x)}{2} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \cos (x) + \sin (x) d x$

Étape 2.3.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\int \cos (x) d x + \int \sin (x) d x)$

Étape 2.3.3

L’intégrale de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{2} + \int \sin (x) d x)$

Étape 2.3.4

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{2} - \cos (x) + C_{3})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\sin (x) - \cos (x)) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} (\sin (x) - \cos (x)) + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} (\sin (x) - \cos (x)) + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (\sin (x) - \cos (x)) + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (\sin (x) - \cos (x)) + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} (\sin (x) - \cos (x)) + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} (\sin (x) - \cos (x)) + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} \sin (x) + \frac{1}{2} (- \cos (x)) + K)$

Étape 3.2.2.1.1.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (x)$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\sin (x)}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (x)) + K)$

Étape 3.2.2.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $\cos (x)$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 \frac{\sin (x)}{2} + 2 (- \frac{\cos (x)}{2}) + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = 2 \frac{\sin (x)}{2} + 2 (- \frac{\cos (x)}{2}) + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = \sin (x) + 2 (- \frac{\cos (x)}{2}) + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\cos (x)}{2}$ dans le numérateur.

$y^{2} = \sin (x) + 2 \frac{- \cos (x)}{2} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = \sin (x) + 2 \frac{- \cos (x)}{2} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = \sin (x) - \cos (x) + 2 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + 2 K}$

Étape 3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + 2 K}$

Étape 3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + 2 K}$

Étape 3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + 2 K}$

$y = \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + 2 K}$

$y = \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + 2 K}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + K}$

$y = - \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + K}$