Calcul infinitésimal Exemples

$2 x^{3} \frac{d y}{d x} = y (y^{2} + 3 x^{2})$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle en fonction de $\frac{y}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $2 x^{3} \frac{d y}{d x} = y (y^{2} + 3 x^{2})$ par $2 x^{3}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $2 x^{3} \frac{d y}{d x} = y (y^{2} + 3 x^{2})$ par $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} \frac{d y}{d x}}{2 x^{3}} = \frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{3} \frac{d y}{d x}}{2 x^{3}} = \frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$

Étape 1.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{3} \frac{d y}{d x}}{x^{3}} = \frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$

Étape 1.1.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3} \frac{d y}{d x}}{x^{3}} = \frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$

Étape 1.1.2.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$

Étape 1.2

Factorisez $\frac{y}{x}$ dans $\frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Factorisez $\frac{y}{x}$ à partir de $\frac{y (y^{2} + 3 x^{2})}{2 x^{3}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{2 x^{2}}$

Étape 1.2.2

Remettez dans l’ordre $\frac{y}{x}$ et $\frac{y^{2} + 3 x^{2}}{2 x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 3 x^{2}}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{x}$

Étape 1.3

Séparez $\frac{y^{2} + 3 x^{2}}{2 x^{2}}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Divisez la fraction $\frac{y^{2} + 3 x^{2}}{2 x^{2}}$ en deux fractions.

$\frac{d y}{d x} = (\frac{y^{2}}{2 x^{2}} + \frac{3 x^{2}}{2 x^{2}}) \frac{y}{x}$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = (\frac{y^{2}}{2 x^{2}} + \frac{3 x^{2}}{2 x^{2}}) \frac{y}{x}$

Étape 1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = (\frac{y^{2}}{2 x^{2}} + \frac{3}{2}) \frac{y}{x}$

Étape 1.4

Factorisez $\frac{y}{x}$ dans $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Factorisez $\frac{y}{x}$ à partir de $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = (\frac{y}{x} \cdot \frac{y}{2 x} + \frac{3}{2}) \frac{y}{x}$

Étape 1.4.2

Remettez dans l’ordre $\frac{y}{x}$ et $\frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (\frac{y}{2 x} \cdot \frac{y}{x} + \frac{3}{2}) \frac{y}{x}$

Étape 1.5

Factorisez $\frac{y}{x}$ dans $\frac{y}{2 x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Factorisez $\frac{y}{x}$ à partir de $\frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (\frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2} \frac{y}{x} + \frac{3}{2}) \frac{y}{x}$

Étape 1.5.2

Remettez dans l’ordre $\frac{y}{x}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = (\frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x} + \frac{3}{2}) \frac{y}{x}$

Étape 2

Laissez $V = \frac{y}{x}$ . Remplacez $\frac{y}{x}$ par $V$ .

$\frac{d y}{d x} = (\frac{1}{2} V \cdot V + \frac{3}{2}) V$

Étape 3

Résolvez $V = \frac{y}{x}$ pour $y$ .

$y = V x$

Étape 4

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de $y = V x$ par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = (\frac{1}{2} V \cdot V + \frac{3}{2}) V$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Résolvez $\frac{d V}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.1

Simplifiez $(\frac{1}{2} \cdot (V \cdot V) + \frac{3}{2}) V$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.1.1

Réécrivez.

$x \frac{d V}{d x} + V = 0 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot (V \cdot V) + \frac{3}{2}) V$

Étape 6.1.1.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$x \frac{d V}{d x} + V = (\frac{1}{2} \cdot (V \cdot V) + \frac{3}{2}) V$

Étape 6.1.1.1.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.1.3.1

Multipliez $V$ par $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = (\frac{1}{2} \cdot V^{2} + \frac{3}{2}) V$

Étape 6.1.1.1.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = (\frac{V^{2}}{2} + \frac{3}{2}) V$

Étape 6.1.1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{2}}{2} V + \frac{3}{2} V$

Étape 6.1.1.1.5

Multipliez $\frac{V^{2}}{2} V$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.1.5.1

Associez $\frac{V^{2}}{2}$ et $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{2} V}{2} + \frac{3}{2} V$

Étape 6.1.1.1.5.2

Multipliez $V^{2}$ par $V$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.1.5.2.1

Multipliez $V^{2}$ par $V$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.1.5.2.1.1

Élevez $V$ à la puissance $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{2} V^{1}}{2} + \frac{3}{2} V$

Étape 6.1.1.1.5.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{2 + 1}}{2} + \frac{3}{2} V$

Étape 6.1.1.1.5.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{3}}{2} + \frac{3}{2} V$

Étape 6.1.1.1.6

Associez $\frac{3}{2}$ et $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2}$

Étape 6.1.1.2

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2} - V$

Étape 6.1.1.3

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2} - V$ par $x$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.3.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2} - V$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V^{3}}{2}}{x} + \frac{\frac{3 V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Étape 6.1.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V^{3}}{2}}{x} + \frac{\frac{3 V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Étape 6.1.1.3.2.1.2

Divisez $\frac{d V}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{2}}{x} + \frac{\frac{3 V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Étape 6.1.1.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2} - V}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2

Pour écrire $- V$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2} - V \cdot \frac{2}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3

Associez $- V$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V}{2} + \frac{- V \cdot 2}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{2} + \frac{3 V - V \cdot 2}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3} + 3 V - V \cdot 2}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3} + 3 V - 2 V}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.7

Soustrayez $2 V$ de $3 V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3} + V}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.8

Factorisez $V$ à partir de $V^{3} + V$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.3.3.8.1

Factorisez $V$ à partir de $V^{3}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot V^{2} + V}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.8.2

Élevez $V$ à la puissance $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot V^{2} + V^{1}}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.8.3

Factorisez $V$ à partir de $V^{1}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot V^{2} + V \cdot 1}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.8.4

Factorisez $V$ à partir de $V \cdot V^{2} + V \cdot 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (V^{2} + 1)}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.9

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V^{2} + 1)}{2} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.10

Associez.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V^{2} + 1) \cdot 1}{2 x}$

Étape 6.1.1.3.3.11

Multipliez $V$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V^{2} + 1)}{2 x}$

Étape 6.1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{V (V^{2} + 1)}$ .

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (V^{2} + 1)} \cdot \frac{V (V^{2} + 1)}{2 x}$

Étape 6.1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.3.1

Associez.

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (V (V^{2} + 1))}{V (V^{2} + 1) (2 x)}$

Étape 6.1.3.2

Annulez le facteur commun de $V$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (V (V^{2} + 1))}{V (V^{2} + 1) (2 x)}$

Étape 6.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (V^{2} + 1)}{(V^{2} + 1) (2 x)}$

Étape 6.1.3.3

Annulez le facteur commun de $V^{2} + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (V^{2} + 1)}{(V^{2} + 1) (2 x)}$

Étape 6.1.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 x}$

Étape 6.1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{V (V^{2} + 1)} d V = \frac{1}{2 x} d x$

Étape 6.2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{V (V^{2} + 1)} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Étape 6.2.2

Intégrez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1.1

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur est du deuxième degré, les termes $2$ sont requis dans le numérateur. Le nombre de termes requis dans le numérateur est toujours égal au degré du facteur dans le dénominateur.

$\frac{A}{V} + \frac{B V + C}{V^{2} + 1}$

Étape 6.2.2.1.1.2

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $V (V^{2} + 1)$ .

$\frac{1 (V (V^{2} + 1))}{V (V^{2} + 1)} = \frac{A (V (V^{2} + 1))}{V} + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Étape 6.2.2.1.1.3

Annulez le facteur commun de $V$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (V (V^{2} + 1))}{V (V^{2} + 1)} = \frac{A (V (V^{2} + 1))}{V} + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Étape 6.2.2.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 (V^{2} + 1)}{V^{2} + 1} = \frac{A (V (V^{2} + 1))}{V} + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Étape 6.2.2.1.1.4

Annulez le facteur commun de $V^{2} + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (V^{2} + 1)}{V^{2} + 1} = \frac{A (V (V^{2} + 1))}{V} + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Étape 6.2.2.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{A (V (V^{2} + 1))}{V} + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Étape 6.2.2.1.1.5

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1.5.1

Annulez le facteur commun de $V$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1.5.1.1

Annulez le facteur commun.

$1 = \frac{A (V (V^{2} + 1))}{V} + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Étape 6.2.2.1.1.5.1.2

Divisez $A (V^{2} + 1)$ par $1$ .

$1 = A (V^{2} + 1) + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Étape 6.2.2.1.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A V^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Étape 6.2.2.1.1.5.3

Multipliez $A$ par $1$ .

$1 = A V^{2} + A + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Étape 6.2.2.1.1.5.4

Annulez le facteur commun de $V^{2} + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$1 = A V^{2} + A + \frac{(B V + C) (V (V^{2} + 1))}{V^{2} + 1}$

Étape 6.2.2.1.1.5.4.2

Divisez $(B V + C) (V)$ par $1$ .

$1 = A V^{2} + A + (B V + C) (V)$

Étape 6.2.2.1.1.5.5

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A V^{2} + A + B V \cdot V + C V$

Étape 6.2.2.1.1.5.6

Multipliez $V$ par $V$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1.5.6.1

Déplacez $V$ .

$1 = A V^{2} + A + B (V \cdot V) + C V$

Étape 6.2.2.1.1.5.6.2

Multipliez $V$ par $V$ .

$1 = A V^{2} + A + B V^{2} + C V$

Étape 6.2.2.1.1.6

Déplacez $A$ .

$1 = A V^{2} + B V^{2} + C V + A$

Étape 6.2.2.1.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $V^{2}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = A + B$

Étape 6.2.2.1.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $V$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = C$

Étape 6.2.2.1.2.3

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $V$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = A$

Étape 6.2.2.1.2.4

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

Étape 6.2.2.1.3

Résolvez le système d’équations.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.3.1

Réécrivez l’équation comme $C = 0$ .

$C = 0$

$0 = A + B$

$1 = A$

Étape 6.2.2.1.3.2

Réécrivez l’équation comme $A = 1$ .

$A = 1$

$C = 0$

$0 = A + B$

Étape 6.2.2.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $1$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.3.3.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $0 = A + B$ par $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

Étape 6.2.2.1.3.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.3.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

Étape 6.2.2.1.3.4

Résolvez $B$ dans $0 = 1 + B$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.3.4.1

Réécrivez l’équation comme $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

$C = 0$

Étape 6.2.2.1.3.4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

Étape 6.2.2.1.3.5

Résolvez le système d’équations.

$B = - 1 A = 1 C = 0$

Étape 6.2.2.1.3.6

Indiquez toutes les solutions.

$B = - 1, A = 1, C = 0$

Étape 6.2.2.1.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{V} + \frac{B V + C}{V^{2} + 1}$ par les valeurs trouvées pour $A$ , $B$ et $C$ .

$\frac{1}{V} + \frac{- 1 V + 0}{V^{2} + 1}$

Étape 6.2.2.1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.5.1

Supprimez les parenthèses.

$\frac{1}{V} + \frac{(- 1) \cdot V + 0}{V^{2} + 1}$

Étape 6.2.2.1.5.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.5.2.1

Réécrivez $- 1 V$ comme $- V$ .

$\frac{1}{V} + \frac{- V + 0}{V^{2} + 1}$

Étape 6.2.2.1.5.2.2

Additionnez $- V$ et $0$ .

$\frac{1}{V} + \frac{- V}{V^{2} + 1}$

Étape 6.2.2.1.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int \frac{1}{V} - \frac{V}{V^{2} + 1} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Étape 6.2.2.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{1}{V} d V + \int - \frac{V}{V^{2} + 1} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Étape 6.2.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{V}$ par rapport à $V$ est $\ln (| V |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} + \int - \frac{V}{V^{2} + 1} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Étape 6.2.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $V$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| V |) + C_{1} - \int \frac{V}{V^{2} + 1} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Étape 6.2.2.5

Laissez $u = V^{2} + 1$ . Alors $d u = 2 V d V$ , donc $\frac{1}{2} d u = V d V$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.5.1

Laissez $u = V^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d V}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.5.1.1

Différenciez $V^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d V} [V^{2} + 1]$

Étape 6.2.2.5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $V^{2} + 1$ par rapport à $V$ est $\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$ .

$\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$

Étape 6.2.2.5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ est $n V^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 V + \frac{d}{d V} [1]$

Étape 6.2.2.5.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $V$ , la dérivée de $1$ par rapport à $V$ est $0$ .

$2 V + 0$

Étape 6.2.2.5.1.5

Additionnez $2 V$ et $0$ .

$2 V$

Étape 6.2.2.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\ln (| V |) + C_{1} - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{2 x} d x$

Étape 6.2.2.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.6.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| V |) + C_{1} - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{2 x} d x$

Étape 6.2.2.6.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\ln (| V |) + C_{1} - \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{2 x} d x$

Étape 6.2.2.7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| V |) + C_{1} - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{2 x} d x$

Étape 6.2.2.8

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2}) = \int \frac{1}{2 x} d x$

Étape 6.2.2.9

Simplifiez

$\ln (| V |) - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Étape 6.2.2.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $V^{2} + 1$ .

$\ln (| V |) - \frac{1}{2} \ln (| V^{2} + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Étape 6.2.2.11

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{2} \ln (| V^{2} + 1 |) + \ln (| V |) + C_{3} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Étape 6.2.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{2} \ln (| V^{2} + 1 |) + \ln (| V |) + C_{3} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| V^{2} + 1 |) + \ln (| V |) + C_{3} = \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C_{4})$

Étape 6.2.3.3

Simplifiez

$- \frac{1}{2} \ln (| V^{2} + 1 |) + \ln (| V |) + C_{3} = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C_{4}$

Étape 6.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| V^{2} + 1 |) + \ln (| V |) = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$

Étape 7

Remplacez $V$ par $\frac{y}{x}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$

Étape 8

Résolvez $- \frac{1}{2} \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$ pour $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Simplifiez l’expression dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1.1

Associez $\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} + \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$

Étape 8.1.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| x |)$ .

$- \frac{\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} + \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{\ln (| x |)}{2} + C$

Étape 8.2

Multiplier chaque terme dans $- \frac{\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} + \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{\ln (| x |)}{2} + C$ par $2$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} + \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{\ln (| x |)}{2} + C$ par $2$ .

$- \frac{\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} \cdot 2 + \ln (| \frac{y}{x} |) \cdot 2 = \frac{\ln (| x |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} \cdot 2 + \ln (| \frac{y}{x} |) \cdot 2 = \frac{\ln (| x |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Étape 8.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |)}{2} \cdot 2 + \ln (| \frac{y}{x} |) \cdot 2 = \frac{\ln (| x |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Étape 8.2.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + \ln (| \frac{y}{x} |) \cdot 2 = \frac{\ln (| x |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Étape 8.2.2.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $\ln (| \frac{y}{x} |)$ .

$- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{\ln (| x |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Étape 8.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{\ln (| x |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Étape 8.2.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) = \ln (| x |) + C \cdot 2$

Étape 8.2.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $C$ .

$- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) = \ln (| x |) + 2 C$

Étape 8.3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$- \ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = 2 C$

Étape 8.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{y}{x}$ .

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = 2 C$

Étape 8.5

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.1

Simplifiez $- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + 2 \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.1.1.1

Simplifiez $2 \ln (| \frac{y}{x} |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln ({| \frac{y}{x} |}^{2}) - \ln (| x |) = 2 C$

Étape 8.5.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| \frac{y}{x} |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln ({(\frac{y}{x})}^{2}) - \ln (| x |) = 2 C$

Étape 8.5.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{y}{x}$ .

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln (\frac{y^{2}}{x^{2}}) - \ln (| x |) = 2 C$

Étape 8.5.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln (\frac{\frac{y^{2}}{x^{2}}}{| x |}) = 2 C$

Étape 8.5.1.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.1.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln (\frac{y^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{| x |}) = 2 C$

Étape 8.5.1.3.2

Associez.

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln (\frac{y^{2} \cdot 1}{x^{2} | x |}) = 2 C$

Étape 8.5.1.3.3

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$- \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) + \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |}) = 2 C$

Étape 8.6

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})} = e^{2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)}$

Étape 8.7

Réécrivez $\ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |}) = 2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)} = \frac{y^{2}}{x^{2} | x |}$

Étape 8.8

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.8.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)}) = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$

Étape 8.8.2

Développez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.8.2.1

Développez $\ln (e^{2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)})$ en déplaçant $2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)$ hors du logarithme.

$(2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)) \ln (e) = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$

Étape 8.8.2.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$(2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)) \cdot 1 = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$

Étape 8.8.2.3

Multipliez $2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)$ par $1$ .

$2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$

Étape 8.8.3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) - \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |}) = - 2 C$

Étape 8.8.4

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |}{\frac{y^{2}}{x^{2} | x |}}) = - 2 C$

Étape 8.8.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 | (\frac{x^{2} | x |}{y^{2}})) = - 2 C$

Étape 8.8.6

Multipliez $| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 | \frac{x^{2} | x |}{y^{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.8.6.1

Associez $| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |$ et $\frac{x^{2} | x |}{y^{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 | (x^{2} | x |)}{y^{2}}) = - 2 C$

Étape 8.8.6.2

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\ln (\frac{x^{2} | (\frac{y^{2}}{x^{2}} + 1) x |}{y^{2}}) = - 2 C$

Étape 8.8.7

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.8.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (\frac{x^{2} | \frac{y^{2}}{x^{2}} \cdot x + 1 x |}{y^{2}}) = - 2 C$

Étape 8.8.7.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.8.7.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\ln (\frac{x^{2} | \frac{y^{2}}{x \cdot x} \cdot x + 1 x |}{y^{2}}) = - 2 C$

Étape 8.8.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{x^{2} | \frac{y^{2}}{x \cdot x} \cdot x + 1 x |}{y^{2}}) = - 2 C$

Étape 8.8.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (\frac{x^{2} | \frac{y^{2}}{x} + 1 x |}{y^{2}}) = - 2 C$

Étape 8.8.7.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\ln (\frac{x^{2} | \frac{y^{2}}{x} + x |}{y^{2}}) = - 2 C$

Étape 8.8.8

Développez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.8.8.1

Développez $\ln (e^{2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)})$ en déplaçant $2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)$ hors du logarithme.

$(2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)) \ln (e) = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$

Étape 8.8.8.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$(2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)) \cdot 1 = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$

Étape 8.8.8.3

Multipliez $2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |)$ par $1$ .

$2 C + \ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 |) = \ln (\frac{y^{2}}{x^{2} | x |})$