Calcul infinitésimal Exemples

$x d y = (3 - 2 y) d x$

Étape 1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x (3 - 2 y)}$ .

$\frac{1}{x (3 - 2 y)} x d y = \frac{1}{x (3 - 2 y)} (3 - 2 y) d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x (3 - 2 y)} x d y = \frac{1}{x (3 - 2 y)} (3 - 2 y) d x$

Étape 2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3 - 2 y} d y = \frac{1}{x (3 - 2 y)} (3 - 2 y) d x$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $3 - 2 y$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $3 - 2 y$ à partir de $x (3 - 2 y)$ .

$\frac{1}{3 - 2 y} d y = \frac{1}{(3 - 2 y) x} (3 - 2 y) d x$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3 - 2 y} d y = \frac{1}{(3 - 2 y) x} (3 - 2 y) d x$

Étape 2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3 - 2 y} d y = \frac{1}{x} d x$

Étape 3

Intégrez les deux côtés.

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Étape 3.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{3 - 2 y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Laissez $u = 3 - 2 y$ . Alors $d u = - 2 d y$ , donc $- \frac{1}{2} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.2.1.1

Laissez $u = 3 - 2 y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Différenciez $3 - 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [3 - 2 y]$

Étape 3.2.1.1.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - 2 y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

$\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Étape 3.2.1.1.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Étape 3.2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

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Étape 3.2.1.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2 y$ par rapport à $y$ est $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 3.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Étape 3.2.1.1.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$0 - 2$

Étape 3.2.1.1.4

Soustrayez $2$ de $0$ .

$- 2$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.2.3

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.5

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.6

Simplifiez

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 - 2 y$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 3.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 y |) = \ln (| x |) + C$

Étape 4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 y |)) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 4.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 4.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1.1

Simplifiez $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 y |))$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Associez $\ln (| 3 - 2 y |)$ et $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| 3 - 2 y |)}{2}) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\ln (| 3 - 2 y |)}{2}$ dans le numérateur.

$- 2 \frac{- \ln (| 3 - 2 y |)}{2} = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 4.2.1.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \ln (| 3 - 2 y |)}{2} = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 4.2.1.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 3 - 2 y |)}{2} = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 4.2.1.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$- - \ln (| 3 - 2 y |) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 4.2.1.1.3

Multipliez.

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Étape 4.2.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \ln (| 3 - 2 y |) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 4.2.1.1.3.2

Multipliez $\ln (| 3 - 2 y |)$ par $1$ .

$\ln (| 3 - 2 y |) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 3 - 2 y |) = - 2 \ln (| x |) - 2 C$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| 3 - 2 y |) + 2 \ln (| x |) = - 2 C$

Étape 4.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.4.1

Simplifiez $\ln (| 3 - 2 y |) + 2 \ln (| x |)$ .

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Étape 4.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.1.1.1

Simplifiez $2 \ln (| x |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln (| 3 - 2 y |) + \ln ({| x |}^{2}) = - 2 C$

Étape 4.4.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\ln (| 3 - 2 y |) + \ln (x^{2}) = - 2 C$

Étape 4.4.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 3 - 2 y | x^{2}) = - 2 C$

Étape 4.4.1.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (| 3 - 2 y | x^{2})$ .

$\ln (x^{2} | 3 - 2 y |) = - 2 C$

Étape 4.5

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x^{2} | 3 - 2 y |)} = e^{- 2 C}$

Étape 4.6

Réécrivez $\ln (x^{2} | 3 - 2 y |) = - 2 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 C} = x^{2} | 3 - 2 y |$

Étape 4.7

Résolvez $y$ .

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Étape 4.7.1

Réécrivez l’équation comme $x^{2} | 3 - 2 y | = e^{- 2 C}$ .

$x^{2} | 3 - 2 y | = e^{- 2 C}$

Étape 4.7.2

Divisez chaque terme dans $x^{2} | 3 - 2 y | = e^{- 2 C}$ par $x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 4.7.2.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} | 3 - 2 y | = e^{- 2 C}$ par $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} | 3 - 2 y |}{x^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

Étape 4.7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 4.7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} | 3 - 2 y |}{x^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

Étape 4.7.2.2.1.2

Divisez $| 3 - 2 y |$ par $1$ .

$| 3 - 2 y | = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

Étape 4.7.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$3 - 2 y = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

Étape 4.7.4

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 y = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}} - 3$

Étape 4.7.5

Divisez chaque terme dans $- 2 y = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}} - 3$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 4.7.5.1

Divisez chaque terme dans $- 2 y = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}} - 3$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Étape 4.7.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.7.5.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 4.7.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Étape 4.7.5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Étape 4.7.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.7.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.7.5.3.1.1

Simplifiez $\frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2}$ .

$y = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{2} + \frac{- 3}{- 2}$

Étape 4.7.5.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

Étape 5

Regroupez les termes constants.

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Étape 5.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\pm \frac{C}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

Étape 5.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = \frac{C \frac{1}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$